1. مسئله را بیان می‌کنیم: الف) ضابطه جبری تابع داده شده را بیابید. ب) بررسی کنید آیا تابع در بازه (0, 3) یک به یک است یا خیر. ج) معادله‌های داده شده را حل کنید: ب) $$\sqrt{x + 2} + 4 = x$$ ج) $$x^4 - 6x^2 + 4 = 0$$ 2. برای الف) ضابطه جبری تابع، اگر تابع به صورت $$y = f(x)$$ باشد، باید رابطه‌ای بین $$x$$ و $$y$$ پیدا کنیم که تابع را تعریف کند. 3. برای ب) بررسی یک به یک بودن تابع در بازه (0, 3)، باید مشتق تابع را در این بازه بررسی کنیم. اگر مشتق تابع در این بازه مثبت یا منفی ثابت باشد، تابع یک به یک است. 4. حل معادله ب): $$\sqrt{x + 2} + 4 = x$$ ابتدا هر دو طرف را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم: $$\sqrt{x + 2} = x - 4$$ برای اینکه ریشه دوم تعریف شده باشد، باید $$x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$$ باشد. اکنون هر دو طرف را به توان 2 می‌رسانیم: $$x + 2 = (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$$ معادله را به شکل استاندارد می‌آوریم: $$0 = x^2 - 8x + 16 - x - 2 = x^2 - 9x + 14$$ با استفاده از فرمول درجه دوم: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$x_1 = \frac{9 + 5}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{9 - 5}{2} = 2$$ از شرط تعریف ریشه دوم $$x \geq 4$$، مقدار $$x=2$$ رد می‌شود. پس جواب معتبر: $$x = 7$$ 5. حل معادله ج): $$x^4 - 6x^2 + 4 = 0$$ با جایگذاری $$y = x^2$$، معادله به صورت درجه دوم می‌شود: $$y^2 - 6y + 4 = 0$$ حل معادله درجه دوم: $$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$$ پس: $$x^2 = 3 + \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3 + \sqrt{5}}$$ $$x^2 = 3 - \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3 - \sqrt{5}}$$ 6. بررسی یک به یک بودن تابع در بازه (0, 3): اگر تابع یک چندجمله‌ای یا تابعی باشد که مشتق آن در بازه مثبت یا منفی ثابت باشد، تابع یک به یک است. با توجه به نمودار سهمی که از x=-1 تا x=5 رسم شده و حداقل در x=2 دارد، تابع در بازه (0, 3) ابتدا نزولی و سپس صعودی است، پس یک به یک نیست. پاسخ نهایی: الف) ضابطه جبری تابع بستگی به تابع داده شده دارد که در سوال مشخص نیست. ب) جواب معادله $$\sqrt{x + 2} + 4 = x$$ برابر است با $$x=7$$. ج) جواب معادله $$x^4 - 6x^2 + 4 = 0$$ برابر است با $$x = \pm \sqrt{3 + \sqrt{5}}$$ و $$x = \pm \sqrt{3 - \sqrt{5}}$$. ب) تابع در بازه (0, 3) یک به یک نیست زیرا مشتق تابع تغییر علامت می‌دهد.