1. **بيان المسألة:** حل المثال الأول (3.5): $$B = (2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{10}$$ $$A = 125 + 3\sqrt{45} + 3\sqrt{180}$$ 2. **كتابة A على شكل $5a\sqrt{5}$ حيث $a$ عدد طبيعي.** 3. **حل المعادلة:** $$x^2 - 11 = 5B$$ حيث $B$ كما في المثال الأول. --- 2. **حل المثال الأول:** 1. نبدأ بتبسيط $B$: $$B = (2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{10}$$ نستخدم صيغة مربع الفرق: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ حيث $a = 2\sqrt{5}$ و $b = \sqrt{2}$. 2. نحسب: $$a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$$ $$b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$$ $$-2ab = -2 \times 2\sqrt{5} \times \sqrt{2} = -4 \sqrt{10}$$ 3. إذن: $$(2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 20 - 4\sqrt{10} + 2 = 22 - 4\sqrt{10}$$ 4. نعود إلى $B$: $$B = (22 - 4\sqrt{10}) + 4\sqrt{10} = 22$$ لأن $-4\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 0$. --- 3. **تبسيط $A$:** $$A = 125 + 3\sqrt{45} + 3\sqrt{180}$$ نحلل الجذور: $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$$ $$\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}$$ نستبدل: $$A = 125 + 3 \times 3\sqrt{5} + 3 \times 6\sqrt{5} = 125 + 9\sqrt{5} + 18\sqrt{5}$$ نجمع الحدود: $$A = 125 + (9 + 18)\sqrt{5} = 125 + 27\sqrt{5}$$ نريد كتابة $A$ على شكل $5a\sqrt{5}$ حيث $a$ عدد طبيعي. نلاحظ أن $125 = 25 \times 5$ و $27\sqrt{5}$ لا يمكن كتابته مباشرة على هذا الشكل. لكن يمكننا كتابة $A$ كالتالي: $$A = 25 \times 5 + 27\sqrt{5}$$ لذلك لا يمكن كتابة $A$ بالكامل على شكل $5a\sqrt{5}$ لأن الجزء الثابت 125 لا يحتوي على جذر 5. لكن إذا قصدنا فقط الجزء الجذري: $$27\sqrt{5} = 5 \times 5.4 \sqrt{5}$$ لكن 5.4 ليس عددًا طبيعيًا. إذاً، لا يمكن كتابة $A$ بالكامل على شكل $5a\sqrt{5}$ حيث $a$ عدد طبيعي. --- 4. **حل المعادلة:** $$x^2 - 11 = 5B$$ نعلم من الخطوة 2 أن: $$B = 22$$ إذاً: $$x^2 - 11 = 5 \times 22 = 110$$ نضيف 11 للطرفين: $$x^2 = 110 + 11 = 121$$ نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$x = \pm \sqrt{121} = \pm 11$$ --- **النتائج النهائية:** $$B = 22$$ $$A = 125 + 27\sqrt{5}$$ (لا يمكن كتابته بالكامل على شكل $5a\sqrt{5}$ حيث $a$ عدد طبيعي) $$x = \pm 11$$