1. Exercice n°01: Problème: Soit $A(x) = (x^2 -1) - (x-1)(4x-4)$ et $B(x) = (x-1)(2x-3)$. 1.a) Factoriser $A(x)$. Commençons par développer et simplifier: $$A(x) = x^2 - 1 - (x-1)(4x-4)$$ Développons: $$(x-1)(4x-4) = 4x^2 - 4x - 4x + 4 = 4x^2 - 8x + 4$$ Donc: $$A(x) = x^2 - 1 - (4x^2 - 8x + 4) = x^2 -1 -4x^2 + 8x - 4 = -3x^2 + 8x - 5$$ Factorisons $A(x)$: Trouvons les racines via le discriminant: $$\Delta = 8^2 - 4 \times (-3) \times (-5) = 64 - 60 = 4$$ Racines: $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2 \times (-3)} = \frac{-8 \pm 2}{-6}$$ Donc les racines sont: $$x_1 = \frac{-8 + 2}{-6} = \frac{-6}{-6} =1$$ $$x_2 = \frac{-8 - 2}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}$$ Ainsi, la factorisation est: $$A(x) = -3(x - 1)(x - \frac{5}{3})$$ 1.b) Résoudre dans $\mathbb{R}$: $A(x) > 0$. Puisque le coefficient devant le produit est $-3 < 0$, le signe de $A(x)$ est opposé à celui de $(x-1)(x-\frac{5}{3})$. Le produit $(x-1)(x-\frac{5}{3}) > 0$ lorsque $x < 1$ ou $x > \frac{5}{3}$. Donc $A(x) > 0$ lorsque: $$-3(x-1)(x-\frac{5}{3}) > 0 \implies (x-1)(x-\frac{5}{3}) < 0$$ Ce produit est négatif entre $x = 1$ et $x = \frac{5}{3}$. Donc: $$1 < x < \frac{5}{3}$$ 2. Exercice n°01: (suite) 2.a) Déterminer l’ensemble des réels pour que $\frac{A(x)}{B(x)}$ existe. $B(x) = (x-1)(2x-3)$, il faut que $B(x) \neq 0$: $$x \neq 1$$ $$2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$$ Donc l'ensemble d'existence est $\mathbb{R} \setminus \{1, \frac{3}{2}\}$. 2.b) Montrer que: $$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{-3x+5}{2x - 3}$$ Nous avons: $$A(x) = -3(x-1)(x-\frac{5}{3}), \quad B(x) = (x-1)(2x-3)$$ Simplifions: $$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{-3(x-1)(x-\frac{5}{3})}{(x-1)(2x-3)} = \frac{-3(x-\frac{5}{3})}{2x - 3}$$ Remarquons que: $$x - \frac{5}{3} = \frac{3x - 5}{3}$$ Donc: $$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{-3 \times \frac{3x -5}{3}}{2x - 3} = \frac{- (3x -5)}{2x - 3} = \frac{-3x +5}{2x - 3}$$ 2.c) Résoudre dans $\mathbb{R}$: $$\frac{A(x)}{B(x)} \leq 0 \iff \frac{-3x + 5}{2x - 3} \leq 0$$ Zéros de numérateur et dénominateur: Numérateur: $-3x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$ Dénominateur: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$, interdit. Étudions le signe de la fraction: - Pour $x < \frac{3}{2}$: Dénominateur négatif. - Pour $x > \frac{3}{2}$: Dénominateur positif. Numérateur est nul en $x=\frac{5}{3} \approx 1.666$. Intervalles: 1) $x < \frac{3}{2} (=1.5)$: Numérateur: $-3x +5$ pour $x=1$ vaut $-3 +5 = 2 >0$ Dénominateur: $2(1) -3 = -1 <0$ Fraction: positif/negatif = négatif $\rightarrow \leq 0$ vraie. 2) $\frac{3}{2} < x < \frac{5}{3}$: Par exemple $x=1.6$: Numérateur: $-3(1.6)+5= -4.8+5=0.2>0$ Dénominateur: $2(1.6)-3=3.2-3=0.2>0$ Fraction: positif/positif = positif $\rightarrow \leq 0$ fausse. 3) $x > \frac{5}{3}$: $x=2$: Numérateur: $-6 +5= -1 <0$ Dénominateur: $4 -3=1 >0$ Fraction: négatif/positif = négatif $\rightarrow \leq 0$ vraie. Résultat avec exclusion de $x = \frac{3}{2}$ où la fonction n'existe pas: $$]-\infty, \frac{3}{2}[ \cup [\frac{5}{3}, +\infty[ $$ 3. Exercice n°02: 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$: 1) $4(x-3)^2 = 3 - x$ Développons et mettons tout d'un côté: $$4(x-3)^2 + x -3 = 0$$ $$4(x^2 -6x +9) + x -3 = 0$$ $$4x^2 -24x + 36 + x -3=0$$ $$4x^2 -23x +33 = 0$$ Calcul du discriminant: $$\Delta = (-23)^2 -4 \times 4 \times 33 = 529 - 528 = 1$$ Racines: $$x = \frac{23 \pm 1}{8}$$ $$x_1 = 3, \quad x_2 = 4$$ 2) $\sqrt{4x+1} = 2x -1$ Conditions: $4x +1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{4}$ Et faire un carré: $$\sqrt{4x+1} = 2x -1 \geq 0 \implies 2x -1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$$ Au carré: $$4x + 1 = (2x -1)^2 = 4x^2 -4x +1$$ Simplifions: $$0 = 4x^2 -4x +1 -4x -1 = 4x^2 -8x$$ $$0 = 4x(x-2)$$ Racines: $x=0$ ou $x=2$ Vérifions contraintes: Pour $x=0$: $\sqrt{1} = 1$ et $2(0)-1 = -1$ ne convient pas (car côté droit doit être $\geq 0$). Pour $x=2$: $\sqrt{9} =3$ et $2(2)-1=3$ OK. Donc solution: $\boxed{x=2}$ 3) $\frac{2x-1}{x+1} < 1$ Définissons le domaine: $x \neq -1$ Réécrivons: $$\frac{2x -1}{x+1} -1 < 0 \implies \frac{2x -1 - (x+1)}{x+1} < 0$$ $$\frac{2x -1 - x -1}{x+1} < 0 \implies \frac{x -2}{x+1} < 0$$ Étudions le signe de $\frac{x-2}{x+1}$. Zéros: $x=2$ (numérateur), interdit $x=-1$ (dénominateur). Signe: - Pour $x < -1$: numérateur $<0$, dénominateur $<0$, fraction $>0$ donc non. - Pour $-1 < x < 2$: numérateur $<0$, dénominateur $>0$, fraction $<0$ vrai. - Pour $x > 2$: numérateur $>0$, dénominateur $>0$, fraction $>0$ non. Solution: $$]-1, 2[ $$ 4) $| -2x + 5| \geq 2$ Cela équivaut à: $$-2x + 5 \geq 2 \quad \text{ou} \quad -2x + 5 \leq -2$$ 1er cas: $$-2x + 5 \geq 2 \Rightarrow -2x \geq -3 \Rightarrow x \leq \frac{3}{2}$$ 2ème cas: $$-2x + 5 \leq -2 \Rightarrow -2x \leq -7 \Rightarrow x \geq \frac{7}{2}$$ Solution: $$(-\infty, \frac{3}{2}] \cup [\frac{7}{2}, +\infty)$$ 2. Résoudre: a) $|2x -1| \leq x + 1$ D'abord question de domaine: $x +1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$ Réécrivons: $$- (x+1) \leq 2x -1 \leq x +1$$ Gauche: $$2x -1 \geq -x -1 \Rightarrow 3x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$$ Droite: $$2x -1 \leq x +1 \Rightarrow x \leq 2$$ Combine avec domaine $x \geq -1$: $$0 \leq x \leq 2$$ b) $|x^1 - \frac{7}{5 - 2x}| \leq 0$ En valeur absolue supérieure ou égale à 0, seule solution possible est: $$x - \frac{7}{5 - 2x} = 0$$ $5 - 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{5}{2}$ Résolvons: $$x = \frac{7}{5 - 2x}$$ $$x(5 - 2x) = 7$$ $$5x - 2x^2 = 7$$ $$2x^2 - 5x + 7 = 0$$ Calcul discriminant: $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 7 = 25 - 56 = -31 <0$$ Pas de solution réelle, donc pas de solution pour l'inégalité. c) $(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{2})x + 4 = \sqrt{5} x + (\sqrt{7} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7} + 2\sqrt{6})$ Les termes s'annulent: $$(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{2})=0$$ $$\sqrt{7} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7} + 2\sqrt{6} = 0$$ Donc l'équation devient: $$4 = \sqrt{5} x$$ Résolvons: $$x = \frac{4}{\sqrt{5}}$$ 3. Problème d’âge: Soit l’âge actuel $x$. Avant deux ans, l’âge $x-2$ est divisible par 12: $$x - 2 = 12k, k \in \mathbb{Z}$$ Après 13 ans, l’âge $x + 13$ est divisible par 15: $$x + 13 = 15m, m \in \mathbb{Z}$$ On a: $$x = 12k + 2$$ Substituons dans second: $$12k + 2 + 13 = 15m$$ $$12k + 15 = 15m$$ $$12k = 15m - 15$$ $$12k = 15(m - 1)$$ Donc 12 divise $15(m-1)$. Comme 12 et 15 ne sont pas premiers entre eux, factorisons: $$12 = 2^2 \times 3$$ $$15 = 3 \times 5$$ $12k = 15(m-1)$ implique que $12k$ divisible par 3, ce qui est vrai toujours. Cherchons un $m$ minimal entier pour que $12k$ soit multiple de 15 (ils sont liés). Testons quelques valeurs: Pour $k=0$, $x=2$, $x+13=15$ divisible par 15 vrai. Vérifions $x-2 = 0$, divisible par 12 vrai. Donc $\boxed{2}$ est une solution possible d’âge. Cependant, avoir un âge de 2 ans hors contexte retraité. Testons $k=1$: $x=14$, $14+13=27$ non divisible par 15. Cherchons $k$ tel que $15 | 12k + 15$: $$12k + 15 \equiv 0 \mod 15$$ $$12k \equiv -15 \equiv 0 \mod 15$$ Donc: $$12k \equiv 0 \mod 15$$ $12k$ modulo 15 doit être 0. Or $12 \equiv 12 \mod 15$ Donc $12k \equiv 12k \equiv 0 \mod 15$ Résolvons: $$12k \equiv 0 \mod 15$$ Donc $15 | 12k$. Puisque $15 = 3 imes 5$ et $12 = 3 imes 4$, $k$ doit être multiple de 5. Prenons $k=5$: $$x=12 imes 5 + 2 = 62$$ Vérifions: $x - 2 = 60$, divisible par 12 vrai. $x + 13 = 75$, divisible par 15 vrai. Donc l'âge du retraité est $\boxed{62}$ ans. 4. Exercice n°03: a) $(x+1)/(x-2) - 3/(x-2)$ Simplification: $$\frac{x+1 - 3}{x-2} = \frac{x - 2}{x-2}$$ Pour $x \neq 2$, cela vaut 1. b) $x + |2x + 3| \leq 1$ Étudions deux cas: - $2x + 3 \geq 0 \implies x \geq -\frac{3}{2}$ $$x + 2x + 3 \leq 1 \implies 3x \leq -2 \implies x \leq -\frac{2}{3}$$ En même temps, $x \geq -\frac{3}{2}$. Donc intersection: $-\frac{3}{2} \leq x \leq -\frac{2}{3}$. - $2x + 3 < 0 \implies x < -\frac{3}{2}$ $$x - (2x + 3) \leq 1 \implies x - 2x -3 \leq 1 \implies -x \leq 4 \implies x \geq -4$$ Avec $x < -\frac{3}{2}$, donc $-4 \leq x < -\frac{3}{2}$. Solution totale: $$[-4, -\frac{3}{2}) \cup [-\frac{3}{2}, -\frac{2}{3}] = [-4, -\frac{2}{3}]$$ c) $|x| - 9/(7 - 3|x|) \leq 0$ Domaine: $7 - 3|x| \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{7}{3}$ Posons $t = |x| \geq 0$: $$t - \frac{9}{7 - 3t} \leq 0$$ Multiplions par $7 - 3t$, attention au signe: Cas 1: $7 - 3t > 0 \iff t < \frac{7}{3}$ $$t(7 - 3t) - 9 \leq 0 \Rightarrow 7t - 3t^2 - 9 \leq 0$$ $$-3t^2 + 7t - 9 \leq 0$$ Discriminant: $$\Delta = 7^2 - 4 \times (-3) \times (-9) = 49 - 108 = -59 < 0$$ Le polynôme est négatif ou nul? Coefficient devant $t^2$ est négatif ($-3$), donc toujours négatif aussi. Donc $-3t^2 + 7t - 9 < 0$ toujours vrai. Dans ce cas, inégalité vraie pour tout $t < 7/3$. Cas 2: $7 - 3t < 0 \iff t > 7/3$ Multiplier par négatif inverse l'inégalité: $$t(7 - 3t) - 9 \geq 0$$ Même expression qu'avant, donc toujours négative, donc inégalité fausse pour $t > 7/3$. Donc solution: $$0 \leq t < \frac{7}{3}$$ En $x$: $$|x| < \frac{7}{3}$$ d) $\sqrt{\frac{2}{x}} -1 \leq \frac{1}{x}$ Domaine: $x > 0$ car sous racine $2/x$ positive. Réécrivons: $$\sqrt{\frac{2}{x}} \leq 1 + \frac{1}{x} = \frac{x +1}{x}$$ Posons $a = \sqrt{2/x}$, $b = (x+1)/x$. $a$ et $b$ positif for $x>0$. Au carré: $$\frac{2}{x} \leq \left( \frac{x + 1}{x} \right)^2$$ $$\frac{2}{x} \leq \frac{(x+1)^2}{x^2}$$ Multiplions par $x^2$ (positif): $$2x \leq (x+1)^2 = x^2 + 2x +1$$ $$0 \leq x^2 + 2x +1 - 2x = x^2 + 1$$ Cette dernière inégalité est toujours vraie pour tout $x$. Il faut vérifier si l’inégalité originale est vraie pour des $x>0$. Test $x=1$: $$\sqrt{2/1} -1 = \sqrt{2} -1 \approx 0.414$$ $$1/1=1$$ $$0.414 \leq 1$$ vrai. Test $x$ très proche de 0 (ex: 0.01): $$\sqrt{2/0.01} -1 = \sqrt{200} -1 = 14.14 -1=13.14$$ $$1/0.01 =100$$ $$13.14 \leq 100$$ vrai. Donc solution: $$x > 0$$ 5. Exercice n°04: 1) Résoudre: $$(x - 2)/(x + 5) = (- x + 3)/(- x - 2)$$ Domaine: $x \neq -5$ et $x \neq -2$ Multiplication croisée: $$(x-2)(-x-2) = (x+5)(-x+3)$$ Développons: $$-(x-2)(x+2) = (x+5)(-x+3)$$ $$-(x^2 - 4) = (x+5)(-x+3)$$ $$-x^2 + 4 = -x^2 + 3x -5x +15 = -x^2 -2x + 15$$ Simplifions: $$-x^2 + 4 = -x^2 - 2x + 15$$ $$4 = -2x + 15$$ $$-2x = -11$$ $$x = \frac{11}{2} = 5.5$$ Vérifions exclusions: $x \neq -5, -2$, correct 2) $\sqrt{x - 9} = |4x + 3|$ D'abord $x - 9 \geq 0 \Rightarrow x \geq 9$ Posons $y=4x +3$. Alors: $$\sqrt{x - 9} = |y|$$ Au carré: $$x - 9 = y^2 = (4x +3)^2 = 16x^2 + 24 x + 9$$ On simplifie: $$0 = 16x^2 + 24x + 9 - x +9 = 16x^2 + 23 x + 18$$ Discriminant: $$\Delta = 23^2 - 4 \times 16 \times 18 = 529 - 1152 = -623 < 0$$ Pas de solution. 3) $|2x + 3| + |x|/2 + 3| = -4$ Impossible car somme de valeurs absolues est positive ou nulle, donc pas de solution. 4) $4x^2 + 12 x + 9 \leq 5(4x^2 -9)$ Développons: $$4x^2 + 12 x +9 \leq 20x^2 - 45$$ Regroupons: $$0 \leq 20x^2 - 45 - 4x^2 - 12 x - 9 = 16 x^2 -12 x - 54$$ Simplifions: $$16 x^2 - 12 x - 54 \geq 0$$ Divisons par 2: $$8 x^2 - 6 x - 27 \geq 0$$ Discriminant: $$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 8 \times (-27) = 36 + 864 = 900$$ Racines: $$x = \frac{6 \pm 30}{16}$$ $$x_1 = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} = 2.25$$ $$x_2 = \frac{-24}{16} = -1.5$$ Comme coefficient de $x^2$ est positif, inégalité vraie en dehors des racines: $$x \leq -1.5 \quad \text{ou} \quad x \geq 2.25$$ 5) $\sqrt{x +4} < 2 - 3x$ Domaine: $$x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$$ $$2 - 3x > 0 \Rightarrow 3x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{3}$$ Inégalité: $$\sqrt{x+4} < 2 - 3x$$ Au carré (avec caution): $$x +4 < (2 - 3x)^2 = 4 - 12 x + 9 x^2$$ $$0 < 4 - 12 x + 9 x^2 - x -4 = 9 x^2 - 13 x$$ $$9 x^2 - 13 x > 0$$ Factorisons: $$x (9 x -13) >0$$ Solutions: $$x > \frac{13}{9}$$ ou $x<0$ Avec le domaine $-4 \leq x < \frac{2}{3}$, seule solution possible est: $$-4 \leq x < 0$$ Vérification dans l'inégalité initiale pour $x=-1$: $$\sqrt{3} < 2 - (-3) = 5$$ vrai. 6) $\frac{x^2 -1}{x - 2} \leq x +1$ Domaine: $x \neq 2$ Réécrivons: $$\frac{x^2 -1}{x - 2} - x -1 \leq 0$$ $$\frac{x^2 - 1 - (x -2)(x +1)}{x - 2} \leq 0$$ Développons le numérateur: $$(x -2)(x +1) = x^2 + x - 2 x - 2 = x^2 - x - 2$$ Numérateur: $$x^2 - 1 - (x^2 - x - 2) = x^2 - 1 - x^2 + x + 2 = x +1$$ Donc: $$\frac{x +1}{x - 2} \leq 0$$ Analysons: Zéros: $x = -1$ (numérateur), exclu $x=2$ (dénominateur) Signe: - Pour $x < -1$: numérateur $<0$, dénominateur $<0$, fraction $>0$ non. - Pour $-1 < x < 2$: numérateur $>0$, dénominateur $<0$, fraction $<0$ vrai. - Pour $x > 2$: numérateur $>0$, dénominateur $>0$, fraction $>0$ non. Solution: $$]-1, 2[$ 7) $|2x - 1| > 5x + 3$ Domaine: $5x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{5}$ Étudions deux cas: - $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$ $$2x -1 > 5x + 3 \Rightarrow -3x > 4 \Rightarrow x < -\frac{4}{3}$$ impossible avec $x \geq \frac{1}{2}$ - $2x -1 < 0 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$ $$-(2x -1) > 5x + 3 \Rightarrow -2x +1 > 5x +3 \Rightarrow -7x > 2 \Rightarrow x < -\frac{2}{7}$$ Intersection avec domaine $x \geq -\frac{3}{5} = -0.6$: $$-0.6 \leq x < \frac{1}{2}$$ et $x < -\frac{2}{7} \approx -0.2857$ Donc solution: $$[-0.6, - \frac{2}{7}[$ 8) $\sqrt{x^2 + 4} = 2 - 3x$ Domaine: $2 - 3x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{2}{3}$ Au carré: $$x^2 + 4 = (2 - 3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2$$ $$0 = 4 - 12x + 9x^2 - x^2 - 4 = 8x^2 - 12x$$ $$0 = 4x(2x - 3)$$ Racines: $$x=0$$ ou $$x=\frac{3}{2}$$ (hors domaine) Seule solution candidate: $x=0$ Vérifions: $$\sqrt{0 + 4} = 2, 2 - 3(0) = 2$$ vrai. Solution: $$\boxed{0}$$ 9) $|2x + 3| \leq 1 - x$ Domaine: $1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$ Cas $2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1.5$ $$2x + 3 \leq 1 - x \Rightarrow 3x \leq -2 \Rightarrow x \leq -\frac{2}{3}$$ Avec conditions, solution: $$-1.5 \leq x \leq -\frac{2}{3}$$ Cas $2x + 3 < 0 \Rightarrow x < -1.5$ $$-(2x + 3) \leq 1 - x \Rightarrow -2x - 3 \leq 1 - x \Rightarrow -x \leq 4 \Rightarrow x \geq -4$$ Avec $x < -1.5$, donc: $$-4 \leq x < -1.5$$ Solution totale: $$[-4, -1.5) \cup [-1.5, -\frac{2}{3}] = [-4, -\frac{2}{3}]$$ 10) $(x + 1)/(x - 2) = 3/(x + 2)$ Domaine: $x \neq 2, -2$ Multiplication croisée: $$ (x + 1)(x + 2) = 3(x - 2)$$ Développons: $$x^2 + 3x + 2 = 3x - 6$$ Simplifions: $$x^2 + 3x + 2 - 3x + 6 = 0 \implies x^2 + 8 = 0$$ Pas de solution réelle. 11) $|4x + 2| - 1 = 2$ $$|4x + 2| = 3$$ Deux cas: $$4x + 2 = 3 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$$ $$4x + 2 = -3 \Rightarrow 4x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{4}$$ Solutions: $$x = \frac{1}{4}, -\frac{5}{4}$$ 6. Exercice n°05: 1) Calcul: $$\sqrt{8} - 2\sqrt{15} - \sqrt{8} + 2\sqrt{15}$$ Simplifions: $$\sqrt{8} - \sqrt{8} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 0$$ 2) Pour $x \in [1,4]$, comparer: $(4 - 3x)$; $\sqrt{4} - 3x = 2 - 3x$; $(4 - 3x)^2$ Étudions ordre en fonction de $x$. $(4-3x)$ décroissant linéairement. $(4 - 3x)^2$ toujours positif. Pour $x=1$: $(4 -3) =1$, $2 -3 = -1$, $1^2=1$ $-1 < 1 = 1$ Pour $x=4$: $4 - 12 = -8$, $2 - 12 = -10$, $(-8)^2 =64$ Ordre à $x=4$: $-10 < -8 < 64$ Résultat varie, il faut donc pour tout $x \,.$ 3) Soit points $A,B,C,M$ tels que: $$5 \vec{AM} = 3 \vec{AB} + 2 \vec{AC}$$ Montrons que $B,C,M$ sont alignés. Par la relation vectorielle, vector $\vec{AM}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Nous avons: $$\vec{AM} = \frac{3}{5} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}$$ Si $M$ se trouve sur le segment $BC$ de paramètre $t$: $$\vec{AM} = \vec{AB} + t \vec{BC} = \vec{AB} + t (\vec{AC} - \vec{AB}) = (1 - t) \vec{AB} + t \vec{AC}$$ Égalons: $$(1-t) \vec{AB} + t \vec{AC} = \frac{3}{5} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}$$ Donc: $$1-t = \frac{3}{5} \implies t = \frac{2}{5}$$ Ce qui confirme que $M$ est sur la droite $(BC)$, donc les points $B,C,M$ sont alignés. 7. Exercice n°06: 1) Deux vecteurs: $$u=\begin{pmatrix}3 + 2\sqrt{2} \\ -m\end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix}m \\ 3 - 2\sqrt{2} \end{pmatrix}$$ Montrons que pour tout réel $m$, $(u; v)$ est une base de $V$, i.e. $u$ et $v$ sont linéairement indépendants. Calcul du déterminant: $$\det(u,v) = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) - (-m)(m)$$ Produit remarquable: $$ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$$ Donc: $$\det(u,v) = 1 - (-m^2) = 1 + m^2$$ Comme $1 + m^2 > 0$ pour tout $m \in \mathbb{R}$, les vecteurs sont linéairement indépendants, et donc forment une base. 2) Choix correct: Si $AB = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} CD$, alors la norme est: $$|AB| = \left| \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} \right| |CD|$$ L'option correcte est: $$a) \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} |CD|$$ (Assumant la notation correcte du signe absolu). ---