1. Στον πρώτο πρόβλημα, υπολογίζουμε τις τιμές των εκφράσεων:\nα. $$|3-\pi|+|4-\pi|$$ \n Υπολογίζουμε περίπου: $\pi \approx 3.1415$ \n Άρα $|3-3.1415| = 0.1415$, και $|4-3.1415| = 0.8585$. \n Άθροισμα: $0.1415 + 0.8585 = 1$.\n\nβ. $$|2\pi - 6|$$\n Υπολογίζουμε $2\pi \approx 6.283$, άρα $|6.283-6| = 0.283$.\n\nγ. $$|1 - \sqrt{2}|$$\n Υπολογίζουμε $\sqrt{2} \approx 1.414$, άρα $|1-1.414|=0.414$.\n\nδ. $$|\sqrt{2} - \sqrt{3}| - |\sqrt{3} - \sqrt{2}|$$ \n Αντικαθιστούμε:\n $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = |1.414 - 1.732| = 0.318$ \n $|\sqrt{3} - \sqrt{2}| = |1.732 - 1.414| = 0.318$ \n Άρα η διαφορά είναι $0$.\n\n2. Για κάποιο πραγματικό $x$ με $1 < x < 2$:\nα. \n $$|x - 1| = x - 1$$ γιατί $x > 1$, άρα το μέρος μέσα στην απόλυτη τιμή είναι θετικό.\n $$|x - 2| = 2 - x$$ γιατί $x < 2$, το μέρος είναι αρνητικό και το αντιστρέφουμε.\n\nβ. Υπολογίζουμε την παράσταση $$B = \frac{|x - 1|}{x - 1} + \frac{|x - 2|}{x - 2} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2-x}{x-2}$$ \nΠαρατηρούμε ότι:\n $$\frac{x-1}{x-1} = 1$$ (για $x \neq 1$)\n Και $$\frac{2-x}{x-2} = \frac{2-x}{- (2-x)} = -1$$ \nΆρα $B = 1 - 1 = 0$.\n\n3. Δίνεται $$A = |x+3| - |1 - x|$$\n\nα. Για $-3 < x < 1$:\n $$|x+3| = x+3$$ (θετικό μέσα), $$|1-x| = 1 - x$$ (επειδή $x < 1$).\n Άρα $$A = (x+3) - (1 - x) = x + 3 - 1 + x = 2x + 2$$ όπως ζητήθηκε.\n\nβ. Για $x < -3$:\n $$|x+3| = -(x+3) = -x -3$$ γιατί το $x+3$ είναι αρνητικό.\n $$|1 - x| = 1 - x$$ (το $1-x$ είναι θετικό εδώ γιατί $x$ μικρότερο από -3).\n Άρα $$A = -x -3 - (1 - x) = -x -3 -1 + x = -4$$ σταθερή τιμή ανεξάρτητη από $x$.\n\nγ. Για $x > 1$:\n $$|x+3| = x + 3$$ (θετικό μέρος)\n $$|1 - x| = x - 1$$ (για $x > 1$, το $1-x$ είναι αρνητικό, οπότε παίρνουμε $x-1$).\n Άρα $$A = (x+3) - (x - 1) = 4$$ σταθερή τιμή \n\n4. Δεδομένου ότι $\alpha < \beta < \gamma < 1$:\nα. $$A = |\alpha - \beta| + |\beta - \gamma| + |\gamma - \alpha|$$ \n Επειδή $\alpha < \beta < \gamma$, \n $$|\alpha - \beta| = \beta - \alpha$$, $$|\beta - \gamma| = \gamma - \beta$$, $$|\gamma - \alpha| = \gamma - \alpha$$. \n Άθροισμα: $$(\beta - \alpha) + (\gamma - \beta) + (\gamma - \alpha) = 2(\gamma - \alpha)$$.\n\nβ. $$B = 2|\beta - \alpha| + |\alpha + \beta - 2\gamma| - 2 |\alpha - \beta|$$\n$$= 2(\beta - \alpha) + |\alpha + \beta - 2\gamma| - 2(\beta - \alpha) = |\alpha + \beta - 2\gamma|$$\nΕπειδή $\alpha,\beta,\gamma < 1$, δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε παραπάνω.\n\nγ. $$\Gamma = \frac{|\alpha - \beta + \gamma|}{| - \alpha + \beta - \gamma|} + |\gamma - 1|$$\nΔεδομένου ότι $\alpha < \beta < \gamma < 1$, χρειαζόμαστε αριθμητικές τιμές για απλοποίηση, οπότε παραμένει έτσι.\n\nδ. $$\Delta = \frac{|2\alpha^3 - 2\alpha^2 \gamma|}{|\alpha - \gamma|} + \frac{|\beta^2 - 1|}{|\beta + 1|}$$\nΊδια μορφή, δεν απλοποιείται περαιτέρω με τα δεδομένα.\n\n5. Για $0 < x < y < 3$:\nα. $A = d(3,x) - |y - 3|$. Αν το $d(a,b) = |a-b|$, τότε:\n $d(3,x) = |3-x| = 3 - x$ γιατί $x < 3$\n Επίσης $|y - 3| = 3 - y$ γιατί $y < 3$\n Άρα $A = (3-x) - (3-y) = y - x$.\n\nβ. $$B = 3|x - 5| + 2 |- y + x| - 5|x + y - 6|$$\n Για $x,y < 3$:\n $|x - 5| = 5 - x$, $|-y + x| = |x - y| = y - x$ (επειδή $x < y$), $|x + y - 6| = 6 - (x + y)$\n Άρα $$B = 3(5 - x) + 2(y - x) - 5(6 - x - y) = 15 - 3x + 2y - 2x - 30 + 5x + 5y = ( -3x - 2x + 5x) + (2y + 5y) + (15 - 30) = 0 + 7y - 15$$\n\nγ. $$\Gamma = d(x^2 + 2x,-1) - | - x^2 - 1|$$\n Υποθέτουμε $d(a,b)=|a-b|$:\n $$d(x^2 + 2x,-1) = |x^2 + 2x + 1| = |(x+1)^2| = (x+1)^2$$\n $$| - x^2 - 1| = |x^2 + 1| = x^2 + 1$$\n Άρα $$\Gamma = (x+1)^2 - (x^2 + 1) = x^2 + 2x +1 - x^2 - 1 = 2x$$\n\nδ. $$\Delta = \frac{x^2 + 8|x| + 16}{|x|} + 4 + \frac{y^2 + |y|}{|y|}$$\n Για $x>0$ και $y>0$, \n $|x|=x$, $|y|=y$, \n Άρα $$\Delta = \frac{x^2 + 8x + 16}{x} + 4 + \frac{y^2 + y}{y} = (x + 8 + \frac{16}{x}) + 4 + (y + 1) = x + 8 + \frac{16}{x} + 4 + y + 1 = x + y + \frac{16}{x} + 13$$\n\n6. Απλοποιήσεις:\nα. $$A = 1 - |x^2 + 1| = 1 - (x^2 + 1) = -x^2$$\nβ. $$B = 3 + |x + 3| + x$$\n Για $x 5 -3$, $|x+3| = x + 3$, άρα $$B = 3 + x + 3 + x = 2x + 6$$\n γ. $$\Gamma = |x - 1| + |2 - x|$$ \n Για $1 < x < 2$, $$|x-1|=x-1$$, $$|2-x|=2-x$$, άρα $$\Gamma = x - 1 + 2 - x = 1$$\nδ. $$\Delta = |x^2 + 4x + 6| - x^2 - 2x - 2$$\n Η έκφραση μέσα στην απόλυτη είναι πάντα θετική (παραβολή με θετική κορυφή) οπότε:\n $$\Delta = (x^2 + 4x +6) - x^2 - 2x - 2 = 2x + 4$$\nε. $$E = |2x - 4| + |2 - x| - |5x - 10|$$\nΕπειδή $|a| = |ka| / |k|$,\n $|5x - 10| = 5|x - 2|$, \nΓια $x < 2$, \n$|2x - 4|=4 - 2x$, $|2-x|= 2-x$, $|x-2|=2-x$\n Άρα $$E = (4 - 2x) + (2 - x) - 5(2 - x) = 4 - 2x + 2 - x - 10 + 5x = (4 + 2 - 10) + (-2x - x + 5x) = -4 + 2x$$\nστ. $$\Sigma = |2x -4| - |3 - 3x| + |x^2+21|$$\n Για $x < 2$, πρώτο όρος: $|2x - 4|=4 - 2x$\n Για $x < 1$, δεύτερο όρος $|3 - 3x| = 3 - 3x$, αλλά αν $x > 1$, \nενώ $|x^2 + 21| = x^2 + 21$ πάντα positif\n Δεν δίνεται εύρος, οπότε παραμένει όπως είναι.\n\nΤελικές απαντήσεις: \n 1. α=1, β=0.283, γ=0.414, δ=0 \n 2. α. $|x-1|=x-1$, $|x-2|=2-x$. β. $B=0$ \n 3. α. $A=2x+2$, β. $A=-4$, γ. $A=4$\n 4. α. $A=2(\gamma - \alpha)$, β. $B=|\alpha + \beta - 2\gamma|$, γ. όπως είναι, δ. όπως είναι\n 5. α. $A = y - x$, β. $B = 7y - 15$, γ. $\Gamma = 2x$, δ. $\Delta = x + y + \frac{16}{x} + 13$\n 6. α. $A=-x^2$, β. $B = 2x + 6$, γ. $\Gamma=1$, δ. $\Delta = 2x +4$, ε. $E = -4 + 2x$, στ. όπως είναι\n