1. ننص مشكلة السؤال: نريد إيجاد قيم $k$ بحيث يكون للمعادلة $$-3x^2 + (2k + 1)x - 4k = 0$$ جذور حقيقية. 2. لكي تكون المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية، يجب أن يكون المميز $\Delta \geq 0$ حيث $$\Delta = b^2 - 4ac$$ 3. في المعادلتنا، $a = -3$, $b = 2k + 1$, و $c = -4k$. 4. نحسب المميز: $$\Delta = (2k + 1)^2 - 4 \times (-3) \times (-4k)$$ $$= (2k + 1)^2 - 48k$$ 5. نوسع المربع: $$(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$$ 6. إذن، $$\Delta = 4k^2 + 4k + 1 - 48k = 4k^2 - 44k + 1$$ 7. شرط الجذور الحقيقية: $$4k^2 - 44k + 1 \geq 0$$ 8. نحاول إيجاد جذور المعادلة التربيعية: $$4k^2 - 44k + 1 = 0$$ باستخدام المعادلة التربيعية: $$k = \frac{44 \pm \sqrt{(-44)^2 - 4 \times 4 \times 1}}{2 \times 4} = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 16}}{8} = \frac{44 \pm \sqrt{1920}}{8}$$ 9. نحسب الجذر التربيعي: $$\sqrt{1920} = \sqrt{64 \times 30} = 8 \sqrt{30}$$ 10. إذن الجذور هي: $$k = \frac{44 \pm 8 \sqrt{30}}{8} = \frac{44}{8} \pm \frac{8 \sqrt{30}}{8} = 5.5 \pm \sqrt{30}$$ 11. الحل النهائي لقيم $k$ التي تحقق الجذور الحقيقية هو كل $k$ خارج الفترة بين هذين الجذرين، أي: $$k \leq 5.5 - \sqrt{30} \quad \text{أو} \quad k \geq 5.5 + \sqrt{30}$$