1. نبدأ بذكر المشكلة: هل الدالتان $f$ و $g$ متساويتان في كل حالة من الحالات المعطاة؟ 2. القاعدة الأساسية لمساواة دالتين هي أن تكون لهما نفس المجال ونفس القيم لكل $x$ في هذا المجال. 3. نحلل الحالة الأولى: $f(x) = \sqrt{x+3}$ و $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}$ - مجال $f$: $x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$ - مجال $g$: $x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$ - المجالات مختلفة، إذن الدالتان غير متساويتين. 4. الحالة الثانية: $f(x) = (x+7)^2$ و $g(x) = x+7$ - $f(x)$ تربيع، $g(x)$ خطي. - لا يمكن أن تكون متساويتين إلا إذا كانت $(x+7)^2 = x+7$ لكل $x$. - نحل المعادلة: $(x+7)^2 = x+7 \Rightarrow (x+7)^2 - (x+7) = 0 \Rightarrow (x+7)((x+7)-1) = 0 \Rightarrow x = -7$ أو $x = -6$ - إذن متساويتان فقط عند هذين العددين، وليستا متساويتين كدالتين. 5. الحالة الثالثة: $f(x) = (\sqrt{x} + 2)^2$ و $g(x) = x + 2$ - نوسع $f(x)$: $$f(x) = (\sqrt{x})^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{x} + 2^2 = x + 4\sqrt{x} + 4$$ - $g(x) = x + 2$ - واضح أن $f(x) \neq g(x)$ إلا في حالات خاصة. 6. الحالة الرابعة: $f(x) = \sqrt{3} + 2x^2$ و $g(x) = |x|\sqrt{x} + 2$ - المجال: $x \geq 0$ لأن $\sqrt{x}$ معرف فقط لغير السالب. - نختبر قيم معينة، مثلاً $x=1$: $f(1) = \sqrt{3} + 2 \approx 1.732 + 2 = 3.732$ $g(1) = |1| \times \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3$ - القيم مختلفة، إذن الدالتان غير متساويتين. 7. الحالة الخامسة: $f(x) = (4x+5)(x-1)$ و $g(x) = 4x + 5$ - $f(x)$ دالة تربيعية، $g(x)$ دالة خطية. - لا يمكن أن تكون متساويتين إلا في نقاط معينة. 8. الحالة السادسة: $f(x) = \frac{x-1}{3}$ و $g(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x-2}$ - نبسط $g(x)$: $$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$$ $$g(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{x-2}$$ - لا يمكن تبسيطها أكثر لتصبح خطية. - إذن الدالتان غير متساويتين. 9. الحالة السابعة: $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ و $g(x) = \frac{x+1}{x-3}$ - الدالتان مختلفتان في الشكل والمجال. 10. الحالة الثامنة: $f(x) = \frac{(x-3)^2}{x^4 - 1}$ و $g(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ - $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$ - إذن: $$f(x) = \frac{(x-3)^2}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}$$ - $g(x)$ كما هو. - لا يمكن تبسيط $f(x)$ لتصبح $g(x)$. 11. الخلاصة: لا توجد حالة من الحالات الثمانية حيث تكون الدالتان $f$ و $g$ متساويتين في كل المجال. الجواب النهائي: لا، الدالتان $f$ و $g$ غير متساويتين في أي من الحالات المعطاة.