1. نبدأ بكتابة المعطيات: المعادلة القطع الناقص هي $$9x^2 + ky^2 = 9k^2$$. 2. نعلم أن إحدى بؤرتي القطع الناقص هي بؤرة القطع المكافئ المعطى بمعادلته $$\frac{1}{4}y^2 - 4x = 0$$. 3. نعيد كتابة معادلة القطع المكافئ بالشكل القياسي: $$y^2 = 16x$$. 4. بؤرة القطع المكافئ تقع عند النقطة $$\left(a,0\right)$$ حيث $$a = \frac{1}{4p}$$ أو مباشرة من المعادلة البؤرة هي عند $$\left(4,0\right)$$ لأن المعادلة هي $$y^2 = 4px$$ و $$4p = 16 \Rightarrow p=4$$ والبؤرة عند $$(p,0) = (4,0)$$. 5. ننتقل إلى القطع الناقص: معادلة القطع الناقص بالشكل القياسي هي $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$. 6. نعيد كتابة المعادلة المعطاة: $$9x^2 + ky^2 = 9k^2 \Rightarrow \frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2}{\frac{9k^2}{k}} = 1$$ لكن الأفضل تقسيم المعادلة على $$9k^2$$: $$\frac{9x^2}{9k^2} + \frac{ky^2}{9k^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2}{\frac{9k^2}{k}} = 1$$ لكن هذا غير واضح، نعيد ترتيبها: $$9x^2 + ky^2 = 9k^2 \Rightarrow \frac{9x^2}{9k^2} + \frac{ky^2}{9k^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2}{\frac{9k^2}{k}} = 1$$ نستنتج أن: $$a^2 = k^2$$ و $$b^2 = \frac{9k^2}{k} = 9k$$. 7. لأن القطع الناقص أفقي (لأن $x^2$ تحت المقام الأكبر)، البؤرتان تقعان عند: $$ (\pm c, 0) $$ حيث $$ c^2 = a^2 - b^2 $$. 8. نعلم أن إحدى البؤرتين هي بؤرة القطع المكافئ عند $$(4,0)$$، إذن: $$ c = 4 $$ 9. نعوض القيم: $$ c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow 16 = k^2 - 9k $$ 10. نعيد ترتيب المعادلة: $$ k^2 - 9k - 16 = 0 $$ 11. نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية: $$ k = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 64}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{145}}{2} $$ 12. إذن قيمة $$k$$ هي: $$ k = \frac{9 + \sqrt{145}}{2} $$ أو $$ k = \frac{9 - \sqrt{145}}{2} $$. 13. لأن $$k$$ يجب أن تكون موجبة (لأنها في مقام)، نأخذ القيمة الموجبة: $$ k = \frac{9 + \sqrt{145}}{2} $$. النتيجة النهائية: $$\boxed{k = \frac{9 + \sqrt{145}}{2}}$$