1. **بيان المشكلة:** نريد تحديد أي من الاقترانات المعطاة هي دالة شاملة (onto) وأيها دالة واحد لواحد (one-to-one). 2. **تعريفات مهمة:** - دالة واحد لواحد (injective): إذا كانت لكل قيمتين مختلفتين في المجال صورة مختلفة في المجال المقابل. - دالة شاملة (surjective): إذا كانت كل عنصر في المجال المقابل له صورة في المجال الأصلي. 3. **تحليل كل دالة:** **الدالة 1: $f(x) = x$, $x \in \mathbb{R}$** - هذه دالة خطية وهوية. - هي واحد لواحد لأن $f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$. - هي شاملة لأن كل $y \in \mathbb{R}$ يوجد $x = y$ بحيث $f(x) = y$. **الدالة 2: $f(x) = x^4 + x^2$, $x \in \mathbb{R}$** - هذه دالة غير واحد لواحد لأن مثلاً $f(1) = 1 + 1 = 2$ و $f(-1) = 1 + 1 = 2$. - ليست شاملة على $\mathbb{R}$ لأن القيم سالبة غير موجودة في المدى (الناتج دائماً $\geq 0$). **الدالة 3: $f(x) = \sqrt{x+1}$, $x \geq -1$** - هي واحد لواحد لأن الجذر التربيعي دالة تزايدية. - ليست شاملة على $\mathbb{R}$ لأن المدى هو $[0, \infty)$ فقط. **الدالة 4: $f(x) = \sin x$, $x \in [0, 2\pi]$** - ليست واحد لواحد لأن مثلاً $\sin 0 = \sin \pi = 0$. - شاملة على $[-1,1]$ لأن الجيب يأخذ كل القيم بين -1 و1 في هذا المجال. **الدالة 5: $f(x) = \sqrt{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$** - ليست واحد لواحد لأن $f(a) = f(-a)$. - ليست شاملة على $\mathbb{R}$ لأن المدى هو $[\sqrt{2}, \infty)$ فقط. **النتيجة النهائية:** - دالة واحد لواحد وشاملة: الدالة 1 - دالة واحد لواحد فقط: الدالة 3 - دالة شاملة فقط: الدالة 4 - ليست واحد لواحد ولا شاملة: الدوال 2 و5