1. نبدأ بكتابة مسألة السؤال: لدينا دالة د معرفة على مجال ح ونعلم أن $$3d(x) + d(-x) = x^4 - 2x^2 + 1$$ 2. لتحليل طبيعة الدالة د، نختبرها بالنسبة للزوجية والفردية. الدالة زوجية إذا كان \(d(-x) = d(x)\) وفردية إذا كان \(d(-x) = -d(x)\). 3. نفترض أن \(d(-x) = kd(x)\) لأننا نريد ايجاد علاقة بين هذه التعبيرات لنجد \(k\). 4. نعود إلى المعادلة الأساسية: $$3d(x) + d(-x) = x^4 - 2x^2 + 1$$ وبالتعويض يصبح: $$3d(x) + kd(x) = x^4 - 2x^2 + 1$$ 5. نعبر عن \(d(x)\) بدلالة \(k\): $$d(x)(3+k) = x^4 - 2x^2 + 1$$ \(\Rightarrow d(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{3+k}\) 6. نجرب \(k = 1\) (أي \(d(-x) = d(x)\)) للدالة الزوجية: $$3d(x) + d(-x) = 3d(x) + d(x) = 4d(x)$$ ومنه: $$4d(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \Rightarrow d(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{4}$$ 7. نتحقق مما إذا كانت دالة د تحقق شرط الزوجية: $$d(-x) = \frac{(-x)^4 - 2(-x)^2 + 1}{4} = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{4} = d(x)$$ 8. إذن، الدالة د دالة زوجية. النتيجة: الدالة د هي دالة زوجية.