1. نبدأ بكتابة المعادلة المعطاة: $$x^{\frac{3}{4}} = y^{\frac{1}{2}}$$ وهي تعني أن الجذر التربيعي لـ $y$ يساوي $x$ مرفوعًا للقوة $\frac{3}{4}$. 2. نعلم أن $y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}$، لذلك يمكننا إعادة كتابة المعادلة كالتالي: $$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt{y}$$. 3. المعادلة الثانية المعطاة هي: $$y^2 = 8^2$$، أي $$y^2 = 64$$. 4. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$\sqrt{y^2} = \sqrt{64}$$، وهذا يعطينا: $$|y| = 8$$. 5. بما أن $y$ موجبة (لأنها تحت الجذر التربيعي في المعادلة الأولى)، إذن: $$y = 8$$. 6. نعود إلى المعادلة الأولى: $$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt{y} = \sqrt{8}$$. 7. نكتب الجذر التربيعي لـ 8 على شكل أسس: $$\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$$. 8. إذن المعادلة تصبح: $$x^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$$. 9. لحل $x$، نرفع الطرفين للقوة المعاكسة لـ $\frac{3}{4}$ وهي $\frac{4}{3}$: $$\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}$$ 10. باستخدام قاعدة الأسس: $$x^{\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \times \frac{4}{3}}$$، أي: $$x^1 = 2^{2}$$ 11. إذن: $$x = 2^2 = 4$$. النتيجة النهائية هي: $$\boxed{4}$$. التوضيح: في الحل، تم استخدام الأسس والجذور بطريقة متسقة، وتم تحويل الجذور إلى أسس لتسهيل العمليات الحسابية. الرمز $z$ غير مستخدم في الحل، والرمز $2$ هو الأساس في التعبيرات الأسية، لذلك لا يوجد خلط بينهما. إذا كان الخط غير واضح، يمكن التركيز على تحويل الجذور إلى أسس لتبسيط الفهم.