1. **مسئله:** حاصل عبارت $$\frac{3^4 \times 3^3 \times 6^4 \times 6^3}{18^3}$$ را بیابید. 2. **فرمول‌ها و قوانین مهم:** - قانون ضرب توان‌ها با پایه یکسان: $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ - قانون تقسیم توان‌ها با پایه یکسان: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ - تجزیه اعداد به عوامل اول برای ساده‌سازی پایه‌ها. 3. **کار میانی:** - ابتدا پایه‌ها را تجزیه می‌کنیم: $$6 = 2 \times 3$$ $$18 = 2 \times 3^2$$ - بازنویسی عبارت: $$\frac{3^4 \times 3^3 \times (2 \times 3)^4 \times (2 \times 3)^3}{(2 \times 3^2)^3}$$ - بازنویسی توان‌ها: $$= \frac{3^4 \times 3^3 \times 2^4 \times 3^4 \times 2^3 \times 3^3}{2^3 \times 3^{6}}$$ - تجمیع توان‌ها: $$= \frac{2^{4+3} \times 3^{4+3+4+3}}{2^3 \times 3^6} = \frac{2^7 \times 3^{14}}{2^3 \times 3^6}$$ - ساده‌سازی: $$= 2^{7-3} \times 3^{14-6} = 2^4 \times 3^8$$ 4. **نتیجه نهایی:** $$2^4 \times 3^8$$ 5. **توضیح:** با تجزیه اعداد به عوامل اول و استفاده از قوانین توان‌ها، توان‌ها را جمع و تفریق کردیم تا عبارت را ساده کنیم.