1. مسئله: محاسبه عبارت $2^4 \times (6^{-2} + 6^{-2}) \times 3^5$ و نمایش آن به صورت عدد توان دار. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - قانون توان‌ها: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ - جمع دو عدد توان دار با پایه یکسان: $a^m + a^m = 2 \times a^m$ 3. ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می‌کنیم: $$6^{-2} + 6^{-2} = 2 \times 6^{-2}$$ 4. حال کل عبارت به صورت زیر است: $$2^4 \times 2 \times 6^{-2} \times 3^5$$ 5. عدد 2 را به توان 1 می‌نویسیم تا بتوانیم با $2^4$ جمع کنیم: $$2^4 \times 2^1 \times 6^{-2} \times 3^5 = 2^{4+1} \times 6^{-2} \times 3^5 = 2^5 \times 6^{-2} \times 3^5$$ 6. عدد 6 را به صورت حاصل‌ضرب پایه‌هایش می‌نویسیم: $$6 = 2 \times 3$$ پس: $$6^{-2} = (2 \times 3)^{-2} = 2^{-2} \times 3^{-2}$$ 7. جایگزین می‌کنیم: $$2^5 \times 2^{-2} \times 3^{-2} \times 3^5 = 2^{5-2} \times 3^{5-2} = 2^3 \times 3^3$$ 8. نتیجه نهایی: $$2^3 \times 3^3$$ که می‌توان به صورت عدد توان دار به همین شکل نگه داشت یا به عدد تبدیل کرد: $$2^3 = 8, \quad 3^3 = 27, \quad 8 \times 27 = 216$$ اما طبق خواسته، پاسخ به صورت عدد توان دار است: $$\boxed{2^3 \times 3^3}$$