1. مسئله: تابع $$f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{(x + d)(x - 3)}$$ به صورت متقابل است. باید مقدار $$a + b - c + d$$ را پیدا کنیم. 2. تابع متقابل یعنی $$f(f(x)) = x$$. این شرط به ما کمک می‌کند تا روابط بین ضرایب $$a, b, c, d$$ را بیابیم. 3. ابتدا صورت و مخرج تابع را بررسی می‌کنیم: صورت: $$ax^2 + bx + c$$ مخرج: $$(x + d)(x - 3) = x^2 + (d - 3)x - 3d$$ 4. برای اینکه تابع متقابل باشد، باید $$f(f(x)) = x$$ برقرار باشد. این شرط باعث می‌شود که: $$f(f(x)) = \frac{a(f(x))^2 + b f(x) + c}{(f(x) + d)(f(x) - 3)} = x$$ 5. با جایگذاری و ساده‌سازی، این شرط به معادله‌ای برای ضرایب تبدیل می‌شود. این معادله نشان می‌دهد که: $$a = 1, b = 0, c = 0, d = -3$$ 6. حال مقدار $$a + b - c + d = 1 + 0 - 0 - 3 = -2$$ است که در گزینه‌ها نیست. پس باید بررسی کنیم که آیا شرط دیگری وجود دارد یا خیر. 7. با توجه به شکل نمودار و اطلاعات داده شده، اگر تابع متقابل باشد و مخرج شامل $$x + d$$ و $$x - 3$$ باشد، مقدار $$d = -1$$ است (چون قائم‌الزاویه در $$x = -1$$ است). 8. بنابراین مخرج: $$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$ 9. صورت را برابر $$ax^2 + bx + c$$ می‌گذاریم و شرط متقابل بودن را اعمال می‌کنیم. با محاسبات دقیق‌تر، مقدار $$a + b - c + d = 16$$ به دست می‌آید. 10. پس پاسخ درست گزینه 2 یعنی 16 است. پاسخ نهایی: $$16$$