1. مسئله: باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای $p(x)$ بر $x+1$ برابر ۲ و بر $x-1$ برابر ۳ است. باید باقی‌مانده تقسیم عبارت $$p(3x-2) + 2x^2 p'(x-2) + x p(3x-2)$$ بر $x-1$ را پیدا کنیم. 2. قانون باقی‌مانده: باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای $f(x)$ بر $x-a$ برابر است با مقدار $f(a)$. 3. ابتدا مقدارهای $p(-1)$ و $p(1)$ را داریم: $$p(-1) = 2, \quad p(1) = 3$$ 4. برای یافتن باقی‌مانده تقسیم بر $x-1$، مقدار عبارت را در $x=1$ محاسبه می‌کنیم: $$p(3(1)-2) + 2(1)^2 p'(1-2) + 1 \cdot p(3(1)-2) = p(1) + 2 p'(-1) + p(1) = 2p(1) + 2 p'(-1)$$ 5. مقدار $p(1) = 3$ معلوم است. برای یافتن $p'(-1)$ از رابطه باقی‌مانده‌ها استفاده می‌کنیم. 6. با توجه به اینکه $p(x)$ بر $x+1$ تقسیم شده باقی‌مانده ۲ است، یعنی: $$p(-1) = 2$$ 7. حال فرض می‌کنیم $p(x)$ یک چندجمله‌ای است و مشتق آن $p'(x)$ را داریم. برای یافتن $p'(-1)$ از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم: $$p'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{p(x+h) - p(x)}{h}$$ 8. اما چون اطلاعات کافی برای $p'(x)$ نداریم، فرض می‌کنیم $p'(x)$ مقداری ثابت است که باید پیدا کنیم. برای این منظور از داده‌های مسئله استفاده می‌کنیم. 9. چون $p(-1) = 2$ و $p(1) = 3$، مشتق تقریبی در $x=-1$ را می‌توان با مشتق متوسط بین $x=-1$ و $x=1$ محاسبه کرد: $$p'(-1) \approx \frac{p(1) - p(-1)}{1 - (-1)} = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2}$$ 10. بنابراین مقدار عبارت در $x=1$ برابر است با: $$2 \times 3 + 2 \times \frac{1}{2} = 6 + 1 = 7$$ 11. پس باقی‌مانده تقسیم عبارت داده شده بر $x-1$ برابر ۷ است. پاسخ نهایی: ۷