1. Aufgabe 5: Lösen Sie die Gleichung $$\alpha - \frac{3}{4}B(x-1)^2 = 0$$ nach $x$ auf. Schritt 1: Addiere $$\frac{3}{4}B(x-1)^2$$ zu beiden Seiten: $$\alpha = \frac{3}{4}B(x-1)^2$$ Schritt 2: Multipliziere beide Seiten mit $$\frac{4}{3B}$$: $$\frac{4\alpha}{3B} = (x-1)^2$$ Schritt 3: Ziehe die Quadratwurzel: $$x-1 = \pm \sqrt{\frac{4\alpha}{3B}}$$ Schritt 4: Löse nach $x$: $$x = 1 \pm \sqrt{\frac{4\alpha}{3B}}$$ 2. Aufgabe 6: Lösen Sie $$K = \frac{(0{,}5 - x)(1 - x)}{(2x)^2}$$ nach $x$ auf für $K=\frac{1}{3}$ und $K=4$ mit $$0{,}5 \geq x \geq 0$$. Schritt 1: Schreibe die Gleichung um: $$K = \frac{(0{,}5 - x)(1 - x)}{4x^2}$$ Schritt 2: Multipliziere beide Seiten mit $$4x^2$$: $$4Kx^2 = (0{,}5 - x)(1 - x)$$ Schritt 3: Multipliziere die rechte Seite aus: $$4Kx^2 = 0{,}5 - 1{,}5x + x^2$$ Schritt 4: Bringe alle Terme auf eine Seite: $$4Kx^2 - x^2 + 1{,}5x - 0{,}5 = 0$$ Schritt 5: Fasse zusammen: $$(4K - 1)x^2 + 1{,}5x - 0{,}5 = 0$$ Schritt 6: Verwende die Mitternachtsformel: $$x = \frac{-1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 - 4 (4K-1)(-0{,}5)}}{2(4K - 1)}$$ Für $K=\frac{1}{3}$: $$4K-1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$$ Diskriminante: $$1{,}5^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-0{,}5) = 2{,}25 + \frac{2}{3} = 2{,}25 + 0{,}6667 = 2{,}9167$$ $$x = \frac{-1{,}5 \pm \sqrt{2{,}9167}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{-1{,}5 \pm 1{,}708}{\frac{2}{3}} = (-1{,}5 \pm 1{,}708) \times \frac{3}{2}$$ Lösungen: $$x_1 = (0{,}208) \times \frac{3}{2} = 0{,}312\quad x_2 = (-3{,}208) \times \frac{3}{2} = -4{,}812$$ Nur $x_1=0{,}312$ erfüllt $$0 \leq x \leq 0{,}5$$. Für $K=4$: $$4K - 1 = 16 - 1 = 15$$ Diskriminante: $$1{,}5^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-0{,}5) = 2{,}25 +30 = 32{,}25$$ $$x = \frac{-1{,}5 \pm \sqrt{32{,}25}}{30} = \frac{-1{,}5 \pm 5{,}678}{30}$$ Lösungen: $$x_1 = \frac{4{,}178}{30} = 0{,}139\quad x_2 = \frac{-7{,}178}{30} = -0{,}239$$ Nur $x_1=0{,}139$ liegt in $$[0, 0{,}5]$$. 3. Aufgabe 7: Lösen Sie nach $t$ aus $$x(t) = x_0 e^{-\lambda t} x$$. Schritt 1: Setze $x(t) = x$ (wie gegeben). Schritt 2: Teile beide Seiten durch $x_0$: $$\frac{x}{x_0} = e^{-\lambda t}$$ Schritt 3: Nehme den natürlichen Logarithmus: $$\ln \left( \frac{x}{x_0} \right) = -\lambda t$$ Schritt 4: Löse nach $t$: $$t = -\frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right)$$ 4. Aufgabe 8: Lösen Sie $$\ln x + \lg x = A$$ nach $x$ auf. Schritt 1: Schreibe um: $$\ln x + \log_{10} x = A$$ Schritt 2: Erinnere, dass $$\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$$. Schritt 3: Setze ein: $$\ln x + \frac{\ln x}{\ln 10} = A$$ Schritt 4: Faktorisieren: $$\ln x \left(1 + \frac{1}{\ln 10}\right) = A$$ Schritt 5: Schreibe als: $$\ln x = \frac{A}{1 + \frac{1}{\ln 10}} = \frac{A}{1 + \frac{1}{2{,}302585}} = \frac{A}{1 + 0{,}4343} = \frac{A}{1{,}4343}$$ Schritt 6: Löse nach $x$ auf: $$x = e^{\frac{A}{1{,}4343}}$$ Alternative Lösung mit Basis 10: $$\lg x = \log_{10} x = \frac{A}{1 + \ln 10}$$ ist komplizierter; besser: Schreibe $\ln x + \lg x = A$ als: $$\lg x = A - \ln x$$ Dann: $$\log_{10} x = A - \ln x$$ Umformen zu exponentieller Form: Zwei Lösungen: $$x_1 = e^{\frac{A}{1 + \frac{1}{\ln 10}}}$$ $$x_2 = 10^{\frac{A}{1 + \ln 10}}$$ 5. Aufgabe 9: Kombinieren Sie zur neuen Größe: $$\frac{m_0 e^4}{8 \cdot 6^2 \cdot h^3 \cdot c}$$ Dabei: - Runden Sie $m_0 e^4$ auf eine ganze Zahl - Runden Sie $b$ auf sechs signifikante Stellen (im Ausdruck nicht vorhanden, evtl. Tippfehler) - Runden Sie $c$ auf zwei Dezimalstellen Da $b$ nicht im Ausdruck ist, fokussieren wir auf das Ganze: Schritt 1: Berechne $6^2 = 36$ Schritt 2: Multipliziere $8 \times 36 = 288$ Schritt 3: Der Nenner ist $288 \cdot h^3 \cdot c$ Die neue Größe hat Einheit $cm^{-1}$, also inverse Länge Schritt 4: Ergebnis ist $$\text{Neue Größe} = \frac{m_0 e^4}{288 h^3 c}$$ Rundung muss mit konkreten Zahlen gemacht werden, hier nur Formel 6. Aufgabe 10: Umrechnen von 14,7 psi in Hektopascal (hPa) und Bestimmen Hoch-/Tiefdruck. Schritt 1: 1 psi = 68,9476 hPa Schritt 2: $$14,7 \times 68{,}9476 = 1013,25\, hPa$$ Schritt 3: Normaldruck ca. 1013 hPa. Schritt 4: Da Wert nahe Normaldruck, wird es als Normal-/Hochdruckgebiet angesehen. Schritt 5: Luftdruckwerte über 1013 hPa gelten als Hochdruck, unter 1013 hPa als Tiefdruck. Antwort: 1013,25 hPa = Hochdruckgebiet.