1. Planteamos el problema 1: "La suma de un número positivo y el doble de un segundo número positivo es 200. Hallar los dos números tales que su producto sea máximo." 2. Definamos las variables: sea $x$ el primer número positivo y $y$ el segundo número positivo. 3. La restricción es: $$x + 2y = 200$$ 4. Queremos maximizar el producto: $$P = xy$$ 5. Despejamos $x$ de la restricción: $$x = 200 - 2y$$ 6. Sustituimos en la función producto: $$P(y) = (200 - 2y) y = 200y - 2y^2$$ 7. Para maximizar $P(y)$, derivamos y igualamos a cero: $$P'(y) = 200 - 4y = 0$$ 8. Resolviendo: $$4y = 200 \Rightarrow y = 50$$ 9. Calculamos $x$: $$x = 200 - 2(50) = 200 - 100 = 100$$ 10. Verificamos que es máximo con la segunda derivada: $$P''(y) = -4 < 0$$, por lo que es un máximo. 11. Por lo tanto, los números son $x=100$ y $y=50$. 12. Planteamos el problema 2: "Un corral rectangular se parte en dos secciones y se construye utilizando 400 pies de alambrado. ¿Qué dimensiones deberían usarse para que el área resulte máxima?" 13. Definamos variables: $x$ es la longitud de los lados largos (hay 4 lados de $x$) y $y$ es la longitud de los lados cortos (hay 2 lados de $y$). 14. La cantidad total de alambrado es: $$4x + 2y = 400$$ 15. Queremos maximizar el área: $$A = x y$$ 16. Despejamos $y$ de la restricción: $$2y = 400 - 4x \Rightarrow y = 200 - 2x$$ 17. Sustituimos en el área: $$A(x) = x (200 - 2x) = 200x - 2x^2$$ 18. Derivamos para maximizar: $$A'(x) = 200 - 4x = 0$$ 19. Resolviendo: $$4x = 200 \Rightarrow x = 50$$ 20. Calculamos $y$: $$y = 200 - 2(50) = 200 - 100 = 100$$ 21. Verificamos con la segunda derivada: $$A''(x) = -4 < 0$$, es un máximo. 22. Por lo tanto, las dimensiones que maximizan el área son $x=50$ pies y $y=100$ pies.