1. **Décomposer en base p et b** Pour décomposer un nombre en base $p$ ou $b$, on exprime ce nombre comme une somme de puissances de la base multipliées par des coefficients entiers. Par exemple, pour un nombre $N$ en base $p$, on écrit $$N = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \cdots + a_k p^k$$ où $0 \leq a_i < p$. 2. **Donner le nombre de diviseurs de a et b** Si $a$ et $b$ sont des entiers factorisés en nombres premiers comme $$a = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_m^{\alpha_m}$$ et $$b = q_1^{\beta_1} q_2^{\beta_2} \cdots q_n^{\beta_n}$$ alors le nombre de diviseurs de $a$ est $$d(a) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_m + 1)$$ et de même pour $b$. 3. **Déterminer le PGCD(a;b) et PPCM(a;b)** Le PGCD (plus grand commun diviseur) de $a$ et $b$ est obtenu en prenant les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants : $$PGCD(a,b) = \prod p_i^{\min(\alpha_i, \beta_i)}$$ Le PPCM (plus petit commun multiple) est obtenu en prenant tous les facteurs premiers avec les plus grands exposants : $$PPCM(a,b) = \prod p_i^{\max(\alpha_i, \beta_i)}$$ 4. **Simplifier les nombres $\frac{a}{b}$ et $\sqrt{ab}$** Pour simplifier $\frac{a}{b}$, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD. Pour $\sqrt{ab}$, on peut écrire $a$ et $b$ en facteurs premiers et extraire les carrés parfaits. --- **Exercice 6 : Géométrie vectorielle dans le triangle ABC** 1. Construire les points $D, E, F$ tels que : - $\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{AE} = -\frac{2}{4} \overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{BF} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BE}$ 2. Montrer que : - $\overrightarrow{EA} = 2 \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{FB} = \frac{9}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{5} \overrightarrow{BC}$ **Démonstration pour $\overrightarrow{EA}$**: On a $\overrightarrow{AE} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$ donc $$\overrightarrow{EA} = - \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$$ Or $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}$, donc $$\overrightarrow{EA} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$$ La relation donnée est $\overrightarrow{EA} = 2 \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{BC}$, ce qui semble incorrect selon la définition. Veuillez vérifier les données ou le signe. **Démonstration pour $\overrightarrow{FB}$**: $\overrightarrow{BF} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BE}$ donc $$\overrightarrow{FB} = - \overrightarrow{BF} = - \frac{3}{5} \overrightarrow{BE}$$ Or $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$. Sans plus d'informations sur $\overrightarrow{AE}$, on ne peut pas simplifier davantage. 3. Considérer le point $M$ tel que $$\overrightarrow{BM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BM} + \text{Montégrque}(1)(D)(M)(A)$$ Cette expression semble incomplète ou mal formulée. Veuillez préciser. --- **Exercice 4 : Expression algébrique** Soit $n$ un entier naturel, on propose : $$Q = 5^n m^2 - 5^n = 5^n (m^2 - 1)$$ et $$b = nm - 7$$ On peut factoriser $Q$ en utilisant la différence de carrés : $$m^2 - 1 = (m-1)(m+1)$$ Donc $$Q = 5^n (m-1)(m+1)$$ --- **Résumé** - Décomposition en base : exprimer en puissances de la base. - Nombre de diviseurs : produit des exposants +1. - PGCD et PPCM : minimum et maximum des exposants. - Simplification : diviser par PGCD, extraire racines carrées. - Géométrie vectorielle : utiliser les relations vectorielles données. - Factorisation algébrique : utiliser les identités remarquables.