1. প্রশ্ন: A = (২, ৩, ৭, ৯) হল, A-এর উপাদানসমূহ বের কর। উত্তর: উপাদানসমূহ হল ২, ৩, ৭, ৯। 2. প্রশ্ন: f(x) = \frac{3x + 1}{3x - 1} হলে, দেখাও যে, \frac{f(1) + 1}{f(1) - 1} = 3। উত্তর: 1. প্রথমে f(1) নির্ণয় করি: $$f(1) = \frac{3(1) + 1}{3(1) - 1} = \frac{4}{2} = 2$$ 2. এখন \frac{f(1) + 1}{f(1) - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3। 3. প্রশ্ন: সূচকের সাহায্যে 498 এর ঘন নির্ণয় কর। উত্তর: 1. 498 এর ঘন হল $$498^3$$। 2. সূচক সূত্র অনুযায়ী, $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ এবং $$ (a^m)^n = a^{mn}$$। 3. এখানে সরাসরি $$498^3$$ হিসাব করতে হবে। 4. প্রশ্ন: P^2 + P^2 - 2P এর উপাদানের বিবরণ কর। উত্তর: 1. সমীকরণটি হল $$P^2 + P^2 - 2P = 2P^2 - 2P$$। 2. সাধারণ গুণক বের করলে: $$2P(P - 1)$$। 5. প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 7 এবং ল.সা.গু 168 হলে, সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। উত্তর: 1. ধরা যাক সংখ্যাগুলো হল 3x এবং 7x। 2. তাদের ল.সা.গু হল $$\text{lcm}(3x,7x) = 21x$$। 3. দেওয়া আছে ল.সা.গু = 168, তাই $$21x = 168 \Rightarrow x = 8$$। 4. তাই সংখ্যাগুলো হল $$3 \times 8 = 24$$ এবং $$7 \times 8 = 56$$। 6. প্রশ্ন: সমানুপাত কীভাবে উৎপন্ন হয়। উত্তর: 1. সমানুপাত হল দুটি অনুপাতের সমান হওয়া, অর্থাৎ $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$। 2. এটি উৎপন্ন হয় যখন $$a \times d = b \times c$$। 7. প্রশ্ন: দ্বিঘাতীয়ক পলিনোমিয়নের মধ্যে সম্পর্ক লেখ। উত্তর: 1. দ্বিঘাতীয়ক পলিনোমিয়ন সাধারণত $$ax^2 + bx + c$$ আকারে লেখা হয়। 2. এর মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে, 3. সম্পর্ক: $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$ এবং $$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$। 8. প্রশ্ন: 13x : 8y = 7: 12 হলে x : y = কত? উত্তর: 1. সমানুপাত থেকে $$\frac{13x}{8y} = \frac{7}{12}$$। 2. ক্রস-মাল্টিপ্লাই করলে $$13x \times 12 = 7 \times 8y$$ 3. $$156x = 56y$$ 4. $$\frac{x}{y} = \frac{56}{156} = \frac{14}{39}$$ 5. তাই $$x : y = 14 : 39$$। 9. প্রশ্ন: চিন্ময় কয়টি ছকচিত্র সংখ্যা দাও। উত্তর: ছকচিত্র সংখ্যা হল 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ... 10. প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র পরিসীমা ৭ সে.মি। একটি অংশ। উত্তর: 1. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $$P = 4a$$ যেখানে $a$ হল বাহুর দৈর্ঘ্য। 2. দেওয়া আছে $$P = 7$$, তাই $$4a = 7 \Rightarrow a = \frac{7}{4} = 1.75$$ সে.মি। ক বিভাগ: সেটতত্ত্ব ক। প্রশ্ন: B কে তালিকা পরিভাষাতে প্রদর্শন কর। উত্তর: 1. B = {x ∈ N : x যোগ সংখ্য এবং x < ৭} অর্থাৎ B হল ৭ এর নিচে সব যোগ সংখ্যা। 2. যোগ সংখ্যা হল ২, ৪, ৬ ... তাই B = {2, 4, 6} খ। প্রশ্ন: দেখাও যে, (A ∪ B)' = A' ∩ B' উত্তর: 1. ডি-মর্গানের সূত্র অনুযায়ী, $$ (A \cup B)' = A' \cap B'$$। 2. তাই প্রদর্শন সম্পন্ন। গ। প্রশ্ন: উপাদান আলোকে দেখাও যে, P^5 + \frac{1}{P^5} = 724 যেখানে $p^2 = 7 + 4\sqrt{3}$ উত্তর: 1. প্রথমে $p = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$। 2. লক্ষ্য করো $p = 2 + \sqrt{3}$ কারণ $(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$। 3. এখন $p^5 + \frac{1}{p^5} = (p + \frac{1}{p})^5 - 5(p + \frac{1}{p})^3 + 5(p + \frac{1}{p})$। 4. $p + \frac{1}{p} = (2 + \sqrt{3}) + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$। 5. $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$ (রেশনালাইজ করে)। 6. তাই $p + \frac{1}{p} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$। 7. এখন $4^5 - 5 \times 4^3 + 5 \times 4 = 1024 - 320 + 20 = 724$। খ বিভাগ: জ্যামিতি ক। প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁক, যার পরিবর্তিত q এবং অপরের এক বাহুর দৈর্ঘ p. উত্তর: 1. সমবাহু ত্রিভুজের সব বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। 2. এখানে $p = 5$ সে.মি., $q = 6.4$ সে.মি। 3. পরিবর্তিত q মানে $q$ কে $p$ এর সমান করতে হবে, তাই সব বাহু হবে $p = 5$ সে.মি। খ। প্রশ্ন: একটি রেখা আঁক যার পরিমাপ 3p এবং একটি কোণ ∠x কার সমান। উত্তর: 1. $3p = 3 \times 5 = 15$ সে.মি। 2. কোণ ∠x = 60°। 3. রেখাটি ১৫ সে.মি. দৈর্ঘ্যের এবং কোণ ৬০° সহ অঙ্কিত হবে। গ। প্রশ্ন: কোনও সামান্তরিকের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য q ও r এবং একটি কোণ তৈরী প। সামান্তরিকটি অঙ্ক কর। উত্তর: 1. সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $q = 6.4$ সে.মি., $r = 4.8$ সে.মি। 2. কোণ ∠p = 60°। 3. অঙ্কন হবে যেখানে কর্ণ দুটি ৬.৪ সে.মি. এবং ৪.৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ ৬০°। সর্বমোট প্রশ্নের উত্তর: 15