### تمرين 1 1. **تحقق من صحة العبارة $P$: $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 + x - 2=0$** - نحل المعادلة التربيعية $x^2 + x - 2=0$. - نستخدم مميز المعادلة $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9$ - الجذور هي: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ - إذن، $x=1$ أو $x=-2$. - بما أنه وجدنا جذور حقيقية، العبارة $P$ صحيحة. 2. **نقد العبارة $Q$: $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$** - كما وجدنا الجذور في الخطوة السابقة، الجذور هي $x=1$ و $x=-2$. - إذن العبارة تقول "لكل $x$ الجذر وحيد وهو $1$" وهذا خطأ لأن $-2$ أيضاً جذر. - إذن $Q$ خاطئة. 3. **حل المعادلة $x^2 + |x-1| -1 = 0$ باستخدام فصل الحالات** - **الحالة 1:** إذا كان $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$، ف$|x-1|=x-1$ المعادلة تصبح: $$x^2 + x -1 -1 =x^2 + x -2 =0$$ - حلناها سابقاً: $$x=1 \text{ أو } x=-2$$ - ضمن شرط $x \geq 1$، الحل المناسب هو $x=1$. - **الحالة 2:** إذا كان $x-1 <0 \Rightarrow x<1$, ف$|x-1|=-(x-1)=1-x$ المعادلة تصبح: $$x^2 + 1 - x -1 = x^2 - x =0$$ - نحل: $$x(x-1)=0 \Rightarrow x=0 \text{ أو } x=1$$ - ضمن شرط $x<1$، الحل المقبول هو $x=0$. - إذن الحلول هي $x=0$ و $x=1$. 4. **ثبت بالخلف أن $\forall x \in \mathbb{R} : \frac{x^2 + 3}{x^2 +4} \neq 1$** - نفرض وجود $x$ يحقق: $$\frac{x^2+3}{x^2+4} =1$$ - نضرب الطرفين: $$x^2 + 3 = x^2 + 4$$ - نحصل على: $$3=4$$ وهي غير صحيحة. - إذن لا يوجد مثل هذا $x$ والعبارة صحيحة بواسطة البرهان بالخلف. 5. **بين أن $x \neq 3 \Rightarrow \frac{3x -7}{x -1} \neq 1$ حيث $x \in \mathbb{R} - \{1\}$** - نفرض العكس: $$\frac{3x-7}{x-1} =1$$ - نضرب الطرفين: $$3x-7 = x-1$$ - نعيد التجميع: $$3x - x = -1 +7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x=3$$ - إذن إذا كانت الكسرية تساوي 1، فإن $x=3$. - بالتالي، إذا $x \neq 3$ فإن: $$\frac{3x-7}{x-1} \neq 1$$ كما المطلوب. 6. **ثبت بالترجع أن $$\forall n \in \mathbb{N}: 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^n = \frac{4^{n+1} - 1}{3}$$** - *قاعدة الانطلاق* (n=0): $$1 = \frac{4^{0+1} -1}{3} = \frac{4 -1}{3}=1$$ صحيحة. - *فرض الترجيح:* $$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^k = \frac{4^{k+1} -1}{3}$$ صحيحة. - *نريد الإثبات للـ k+1:* $$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^k + 4^{k+1} = ?$$ - باستخدام فرض الترجيح $$= \frac{4^{k+1} -1}{3} + 4^{k+1} = \frac{4^{k+1} -1}{3} + \frac{3 \cdot 4^{k+1}}{3} =\frac{4^{k+1} -1 + 3 \times 4^{k+1}}{3}$$ - نجمع الحدود المتشابهة $$= \frac{4^{k+1} -1 + 3 \times 4^{k+1}}{3} = \frac{4^{k+1}(1+3) -1}{3} = \frac{4^{k+1} \times 4 -1}{3} = \frac{4^{k+2} -1}{3}$$ - إذن فرض الترجيح ينطبق للـ $k+1$ أيضاً. - بناءً عليه، التعبير صحيح لجميع $n \in \mathbb{N}$. --- ### تمرين 2 1. **تحديد مجالا الدالتين:** - $D_f = \mathbb{R}$ لأن $f$ متعددة حدود. - $D_g = \{x \in \mathbb{R} : x+7 \geq 0\} = [-7, +\infty[$. 2. **بين أن $f$ ليست دالة زوجية ولا فردية:** - دالة زوجية تحقق: $f(-x) = f(x)$ - دالة فردية تحقق: $f(-x) = -f(x)$ - نحسب: $$f(-x) = -(-x)^2 + 2(-x) + 3 = -x^2 - 2x + 3$$ - ملمس $f(x)$ و $f(-x)$ مختلف, إذن لا تحقق الزوجية أو الفردية. 3. **حساب $f(2)$ و $g(2)$ واستنتاج:** - $f(2) = -(2)^2 + 2 \times 2 + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$ - $g(2) = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$ - الاستنتاج: القيمتان متساويتان. 4. **حل المعادلة $-x^2 + 2x + 3=0$ واستنتاج جدول الإشارة:** - نعيد كتابة المعادلة: $$-x^2 + 2x +3=0 \iff x^2 - 2x -3=0$$ - المميز: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) =4 +12 =16$$ - الجذور: $$x=\frac{2 \pm 4}{2}$$ - إذن $x=3$ أو $x=-1$ - بما أن المعامل الرئيسي بالسالب، فإن $f(x)$ تأخذ القيم الإيجابية بين الجذرين (بين -1 و 3). 5. **تحديد تقاطعات $C_f$مع محوري الأفصل والرتب:** - مع محور $x$ (الصفرية): هي الجذور $x=-1$ و $x=3$. - مع محور $y$ (عندما $x=0$): $$f(0)=3$$ - إذن نقطة التقاطع مع محور $y$ هي $(0,3)$. 6. **إنشاء جدول تغييرات $f$ و $g$:** - $f$ دالة تربيعية تناقصية من $-\infty$ إلى $x=1$ ثم تزايدية. - نقطة الانعطاف هي: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{-2} =1$$ - القيمة العظمى: $$f(1) = -(1)^2 + 2 \times 1 +3 = -1 + 2 + 3 =4$$ - $g$ دالة جذرية تزداد على المجال. 7. **تمثيل $C_f$ و $C_g$ في نفس المعلم:** - $C_f$ قطع مكافئ يفتح نحو الأسفل بقمة عند $(1,4)$. - $C_g$ منحنى الجذر يبدأ عند $(-7,0)$ ويتزايد كمربع الجذر. 8. **تحديد القيمة القصوى لـ $f$ و $f([0;1])$, $f([1;3])$:** - القيمة القصوى هي $f(1) =4$. - على $[0;1]$: - $f(0)=3$, $f(1)=4$ —$f$ تزداد، الفترة تزداد من 3 إلى 4. - على $[1;3]$: - $f(1)=4$, $f(3)=0$ —$f$ تنقص من 4 إلى 0. 9. **حل مبيانيًا:** - $g(x) < 3 \Rightarrow \sqrt{x+7} <3 \Rightarrow x+7 <9 \Rightarrow x <2$ - $f(x) \leq 3$ على الجذور وبعدها، أي $x \in ]-\infty, -1] \cup [3, +\infty[$ 10. **تحديد التعبير $f \circ g(x)$ ومجاله:** - $f \circ g(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x+7}) = - (\sqrt{x+7})^2 + 2(\sqrt{x+7}) +3 = -(x+7) + 2\sqrt{x+7} + 3 = -x -7 + 2\sqrt{x+7} + 3 = -x -4 + 2\sqrt{x+7}$ - المجال: $D_{f \circ g} = D_g = [-7, +\infty[$ لأن $g(x)$ داخلي لـ $f$. 11. **استنتج رتبة $f \circ g$ على $[0;1]$ و $[1;3]$** - على $[0;1]$: - $x=0 \Rightarrow f\circ g(0) = -0 -4 + 2\sqrt{0+7} = -4 + 2\sqrt{7} \approx -4 +5.29 =1.29$ - $x=1 \Rightarrow f\circ g(1) = -1 -4 + 2\sqrt{8} = -5 + 2 \times 2.828 = -5 +5.656 =0.656$ - $f \circ g$ تناقص على هذا القطاع. - على $[1;3]$: - $x=1$ كما فوق $0.656$ - $x=3 \Rightarrow f\circ g(3)= -3 -4 + 2\sqrt{10} = -7 + 2 \times 3.162 = -7 +6.324 = -0.676$ - $f \circ g$ تناقص أيضًا على القطاع الثاني. --- **الملخص:** - حللنا جميع المسائل خطوة بخطوة مع شرح مُفصل. - الحلول متوافقة مع تعريفات المجالات.