1. **Exercice 5 : Déterminer une primitive pour chaque fonction** **Problème :** Trouver une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$ pour chaque fonction donnée, en précisant l'intervalle de définition. --- **Fonction 1 :** $f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 1$ 1. La primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n \neq -1$. 2. Calculons : $$F(x) = \int (3x^4 - 2x^3 - 1) dx = 3 \int x^4 dx - 2 \int x^3 dx - \int 1 dx$$ 3. Intégration : $$= 3 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^4}{4} - x + C = \frac{3}{5} x^5 - \frac{1}{2} x^4 - x + C$$ 4. Intervalle : $\mathbb{R}$ --- **Fonction 2 :** $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 1$ 1. Domaine : $x > 0$ (car racine carrée) 2. Intégration : $$F(x) = \int \left( \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 1 \right) dx = \frac{1}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} dx + \int 1 dx$$ 3. Calcul : $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + x + C = \sqrt{x} + x + C$$ --- **Fonction 3 :** $f(x) = \frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$ 1. Domaine : $x \neq 0$ 2. Intégration : $$F(x) = \int 2x^{-3} dx = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -x^{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C$$ --- **Fonction 4 :** $f(x) = -2(1 - 2x)^4$ 1. Domaine : $\mathbb{R}$ 2. Posons $u = 1 - 2x$, alors $du = -2 dx$, donc $dx = -\frac{du}{2}$ 3. Intégration : $$F(x) = \int -2 u^4 dx = -2 \int u^4 dx = -2 \int u^4 \left(-\frac{du}{2}\right) = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$$ 4. Remettre en $x$ : $$F(x) = \frac{(1 - 2x)^5}{5} + C$$ --- **Fonction 5 :** $f(x) = \frac{-3}{(2 - 3x)^3}$ 1. Domaine : $x \neq \frac{2}{3}$ 2. Posons $u = 2 - 3x$, alors $du = -3 dx$, donc $dx = -\frac{du}{3}$ 3. Intégration : $$F(x) = \int \frac{-3}{u^3} dx = -3 \int u^{-3} dx = -3 \int u^{-3} \left(-\frac{du}{3}\right) = \int u^{-3} du$$ 4. Calcul : $$= \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2 u^2} + C = -\frac{1}{2 (2 - 3x)^2} + C$$ --- **Fonction 6 :** $f(x) = \frac{-4x}{(1 - 2x^2)^2}$ 1. Domaine : $\mathbb{R}$ 2. Posons $u = 1 - 2x^2$, alors $du = -4x dx$ 3. Donc $-4x dx = du$, donc $f(x) dx = \frac{du}{u^2}$ 4. Intégration : $$F(x) = \int \frac{du}{u^2} = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{1 - 2x^2} + C$$ --- **Fonction 7 :** $f(x) = x^2 (2 + x^3)^2$ 1. Domaine : $\mathbb{R}$ 2. Posons $u = 2 + x^3$, alors $du = 3x^2 dx$, donc $x^2 dx = \frac{du}{3}$ 3. Intégration : $$F(x) = \int x^2 u^2 dx = \int u^2 \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^2 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^3}{3} + C = \frac{(2 + x^3)^3}{9} + C$$ --- **Fonction 8 :** $f(x) = \frac{2(x + 1)}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$ 1. Domaine : $\mathbb{R}$ (car $x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 > 0$) 2. Posons $u = x^2 + 2x + 2$, alors $du = 2x + 2 dx = 2(x+1) dx$ 3. Donc $f(x) dx = \frac{2(x+1)}{\sqrt{u}} dx = \frac{du}{\sqrt{u}}$ 4. Intégration : $$F(x) = \int u^{-\frac{1}{2}} du = 2 \sqrt{u} + C = 2 \sqrt{x^2 + 2x + 2} + C$$ --- **Fonction 9 :** $f(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$ 1. Domaine : $0 < x < 4$ 2. Intégration séparée : $$F(x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{4 - x}} dx$$ 3. Première intégrale : $$\int \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} dx = \sqrt{x} + C_1$$ 4. Deuxième intégrale, posons $u = 4 - x$, $du = -dx$ : $$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (-du) = -2 \sqrt{u} + C_2 = -2 \sqrt{4 - x} + C_2$$ 5. Donc : $$F(x) = \sqrt{x} - 2 \sqrt{4 - x} + C$$ --- 2. **Exercice 6 : Étude de la fonction $f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 2x}$** **1) Domaine de définition :** - Dénominateur $x^2 - 2x = x(x - 2)$ ne doit pas être nul. - Donc $x \neq 0$ et $x \neq 2$. - Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$. **2) Symétrie par rapport à la droite $x=1$ :** - Posons $h = x - 1$. - Calculons $f(1 + h)$ et $f(1 - h)$ : $$f(1 + h) = \frac{(1 + h - 1)^2}{(1 + h)^2 - 2(1 + h)} = \frac{h^2}{(1 + h)^2 - 2 - 2h} = \frac{h^2}{1 + 2h + h^2 - 2 - 2h} = \frac{h^2}{h^2 - 1}$$ $$f(1 - h) = \frac{(1 - h - 1)^2}{(1 - h)^2 - 2(1 - h)} = \frac{(-h)^2}{1 - 2h + h^2 - 2 + 2h} = \frac{h^2}{h^2 - 1}$$ - Donc $f(1 + h) = f(1 - h)$, la droite $x=1$ est un axe de symétrie. **3) Limites :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x-1)^2}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 2x} = 1$ (car termes dominants $x^2/x^2$). - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x-1)^2}{x(x-2)}$ : - Le dénominateur tend vers $2 \times 0^-$ (car $x-2$ négatif), donc tend vers 0 par valeurs négatives. - Le numérateur tend vers $(2-1)^2 = 1$. - Donc limite tend vers $-\infty$. - $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ : dénominateur tend vers $2 \times 0^+$, donc $0^+$. - Numérateur $\to 1$. - Limite tend vers $+\infty$. - Interprétation : asymptote verticale en $x=2$, asymptote horizontale $y=1$. **4a) Dérivabilité et dérivée :** - $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$ car quotient de fonctions dérivables avec dénominateur non nul. - Calcul de $f'(x)$ : $$f(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2 - 2x}$$ $$f'(x) = \frac{2(x-1)(x^2 - 2x) - (x-1)^2 (2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2}$$ - Simplifions le numérateur : $$N = 2(x-1)(x^2 - 2x) - (x-1)^2 (2x - 2)$$ $$= 2(x-1)x(x-2) - (x-1)^2 2(x-1) = 2(x-1)x(x-2) - 2(x-1)^3$$ $$= 2(x-1)[x(x-2) - (x-1)^2]$$ - Calculons $x(x-2) - (x-1)^2$ : $$x^2 - 2x - (x^2 - 2x + 1) = x^2 - 2x - x^2 + 2x - 1 = -1$$ - Donc $N = 2(x-1)(-1) = -2(x-1)$ - Finalement : $$f'(x) = \frac{-2(x-1)}{(x^2 - 2x)^2} = \frac{2(1 - x)}{(x^2 - 2x)^2}$$ **4b) Tableau de variation :** - Dénominateur positif sauf en $x=0,2$ où $f$ n'est pas définie. - Signe de $f'(x)$ dépend de $1 - x$. - $f'(x) > 0$ pour $x < 1$, $f'(x) < 0$ pour $x > 1$. - Donc $f$ croissante sur $(-\infty, 0)$ et $(0,1)$, décroissante sur $(1,2)$ et $(2, +\infty)$. - $x=1$ est un maximum local. **5) Tracé :** - Tracer la droite $x=1$ (axe de symétrie). - Tracer la courbe $C$ avec asymptotes en $x=0$ et $x=2$, limite horizontale $y=1$. **6) Fonction $g(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$** **a) $g$ est paire :** - $g(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2}{x^2 - 1} = g(x)$. **b) Montrer que $g(x) = f(x+1)$ :** - Calculons $f(x+1)$ : $$f(x+1) = \frac{(x+1 - 1)^2}{(x+1)^2 - 2(x+1)} = \frac{x^2}{x^2 + 2x + 1 - 2x - 2} = \frac{x^2}{x^2 - 1} = g(x)$$ **c) Construction de la courbe $C'$ de $g$ :** - $C'$ est la translation horizontale de $C$ de $-1$ unité. --- **Résumé :** - Exercice 5 : primitives calculées avec intervalles. - Exercice 6 : domaine, symétrie, limites, dérivée, variations, et relation entre $f$ et $g$.