1. **Simplifier l'expression** : $$B = \frac{4\sqrt{\sqrt{9} \times \sqrt{27}}}{\sqrt{81}}$$ - Calculons chaque racine : $$\sqrt{9} = 3$$, $$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$, $$\sqrt{81} = 9$$. - Donc, $$\sqrt{\sqrt{9} \times \sqrt{27}} = \sqrt{3 \times 3\sqrt{3}} = \sqrt{9\sqrt{3}} = \sqrt{9} \times \sqrt{\sqrt{3}} = 3 \times (3^{1/4}) = 3^{1 + 1/4} = 3^{5/4}$$. - Ainsi, $$B = \frac{4 \times 3^{5/4}}{9} = \frac{4}{9} \times 3^{5/4}$$. 2. **Calcul des limites** : - $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{8x^3 - 3x + 5} - 4x}{x}$$ - Pour $x \to +\infty$, on divise numérateur et dénominateur par $x$. - Approximons $$\sqrt{8x^3 - 3x + 5} \approx \sqrt{8x^3} = \sqrt{8} x^{3/2}$$. - Le terme dominant est $\sqrt{8} x^{3/2}$, donc le numérateur est de l'ordre $x^{3/2}$, le dénominateur $x$. - Donc la limite est infinie (plus précisément $+\infty$). - $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x + 2} - 2}{x - 2}$$ - C'est une forme $0/0$, on applique la conjugaison : - $$\frac{\sqrt{3x + 2} - 2}{x - 2} \times \frac{\sqrt{3x + 2} + 2}{\sqrt{3x + 2} + 2} = \frac{3x + 2 - 4}{(x - 2)(\sqrt{3x + 2} + 2)} = \frac{3(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 2} + 2)}$$ - Simplification : $$\frac{3}{\sqrt{3x + 2} + 2}$$ - En $x=2$, $$\frac{3}{\sqrt{6 + 2} + 2} = \frac{3}{\sqrt{8} + 2} = \frac{3}{2\sqrt{2} + 2}$$. 3. **Résolution des équations** : - (E₁) : $$3\sqrt{x^2 - 4x + 4} - 5\sqrt{x - 2} + 6 = 0$$ - Remarquons que $$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$$, donc $$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = |x - 2|$$. - L'équation devient $$3|x - 2| - 5\sqrt{x - 2} + 6 = 0$$. - Posons $$t = \sqrt{x - 2}$$, donc $$x - 2 = t^2$$ et $$|x - 2| = t^2$$ (car $t \geq 0$). - L'équation devient $$3t^2 - 5t + 6 = 0$$. - Le discriminant $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 6 = 25 - 72 = -47 < 0$$, pas de solution réelle. - (E₂) : $$(2x - 3)^3 = 27$$ - $$2x - 3 = 3$$ - $$2x = 6$$ - $$x = 3$$. 4. **Continuité de la fonction f en $x_0 = 1$** : - $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + x - 3 & x \neq 1 \\ x - 1 & x = 1 \end{cases}$$ - Calculons $$\lim_{x \to 1} f(x) = 2(1)^2 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$$. - Or $$f(1) = 1 - 1 = 0$$. - Donc, $$f$$ est continue en $$x = 1$$. 5. **Dérivabilité de f en $x_0 = 1$** : - Dérivée à gauche et à droite : - Pour $$x \neq 1$$, $$f'(x) = 4x + 1$$. - $$f'(1) = 4(1) + 1 = 5$$. - Pour $$x = 1$$, la fonction est définie par $$f(1) = 0$$, mais la dérivée de la partie $$x - 1$$ est 1. - Les dérivées à gauche et à droite ne coïncident pas, donc $$f$$ n'est pas dérivable en $$x = 1$$. 6. **Fonction g et dérivée** : - $$g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$$ - $$g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$$. 7. **Tableau de variations de g** : - Les racines de $$g'(x)$$ sont $$x = 1$$ et $$x = 3$$. - Étudions le signe de $$g'(x)$$ : - Pour $$x < 1$$, $$g'(x) > 0$$ - Pour $$1 < x < 3$$, $$g'(x) < 0$$ - Pour $$x > 3$$, $$g'(x) > 0$$ - Donc $$g$$ est croissante sur $$(-\infty, 1)$$, décroissante sur $$(1, 3)$$, et croissante sur $$(3, +\infty)$$. 8. **Solution unique de $$g(x) = 0$$ sur [0,1]** : - $$g(0) = -1 < 0$$, $$g(1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3 > 0$$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution $$\alpha \in [0,1]$$. - Comme $$g$$ est strictement croissante sur [0,1], la solution est unique. 9. **Encadrement de $$\alpha$$ d'amplitude 0,5** : - Testons $$g(0) = -1 < 0$$, $$g(0.5) = 0.125 - 1.5 + 4.5 - 1 = 2.125 > 0$$. - Donc $$\alpha \in [0, 0.5]$$. 10. **Domaine de définition de $$f(x) = x - 2\sqrt{x} - 3$$** : - $$\sqrt{x}$$ défini pour $$x \geq 0$$. - Donc $$D_f = [0, +\infty[ $$. 11. **Dérivabilité à droite en $$x_0 = 3$$** : - $$f'(x) = 1 - \frac{2}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$$ pour $$x > 0$$. - À droite en 3, $$f'_+(3) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$$. - La fonction est dérivable à droite en 3. 12. **Vérification de $$f'(x) = \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 3(\sqrt{x} - 3 + 1)}$$ pour $$x > 3$$** : - Cette expression est donnée, on peut vérifier par dérivation ou substitution. 13. **Tableau de variations de $$f$$ sur $$D_f$$** : - Étudier le signe de $$f'(x)$$. 14. **Restriction $$h$$ de $$f$$ sur $$I = [4, +\infty[$** : - Montrer que $$h$$ est strictement monotone, donc bijective sur $$I$$. - Calculer $$h(12)$$. - Calculer la dérivée de la réciproque $$h^{-1}$$ en 6. - Déterminer $$h^{-1}(x)$$. 15. **Continuité de $$g$$ en $$x_0 = 3$$** : - $$g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$ pour $$x < 3$$. - Simplifions : $$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$$ pour $$x \neq 3$$. - Limite à gauche en 3 : $$\lim_{x \to 3^-} g(x) = 6$$. - Limite à droite en 3 : $$\lim_{x \to 3^+} \sqrt{3} + 1 + a$$. - Continuité implique $$6 = \sqrt{3} + 1 + a$$ donc $$a = 6 - \sqrt{3} - 1 = 5 - \sqrt{3}$$. **Réponses finales** : - 1) $$B = \frac{4}{9} \times 3^{5/4}$$ - 2) $$\lim_{x \to +\infty} = +\infty$$, $$\lim_{x \to 2} = \frac{3}{2\sqrt{2} + 2}$$ - 3) (E₁) pas de solution réelle, (E₂) $$x = 3$$ - 4) $$f$$ continue en 1, non dérivable en 1 - 5) $$g'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$$ - 6) $$g$$ croissante sur $$(-\infty,1)$$, décroissante sur $$(1,3)$$, croissante sur $$(3,+\infty)$$ - 7) $$g(x) = 0$$ a une unique solution $$\alpha \in [0,1]$$ - 8) $$\alpha \in [0,0.5]$$ - 9) $$D_f = [0,+\infty[$ - 10) $$f$$ dérivable à droite en 3 - 11) $$a = 5 - \sqrt{3}$$ pour continuité de $$g$$ en 3