1. সমাধান করা হয়েছে এ প্রশ্ন: $x + y$ কে 7 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে যখন $x + 1$ এবং $y + 2$ দুইটি সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য। 2. দেওয়া হয়েছে, $x + 1$ এবং $y + 2$ উভয়ই 7 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ: $$x + 1 = 7a, \quad y + 2 = 7b$$ যেখানে $a$ এবং $b$ পূর্ণ সংখ্যা। 3. অতএব, $x = 7a - 1$ এবং $y = 7b - 2$। 4. $x + y$ যোগ করলে পাওয়া যায়: $$x + y = (7a - 1) + (7b - 2) = 7a + 7b - 3 = 7(a + b) - 3$$ 5. $x + y$ কে 7 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $7(a+b) - 3$ এর মধ্যে থেকে $7(a+b)$ অংশটি 7 দ্বারা পূর্ণ বিভাজ্য, তাই ভাগশেষ হবে: $$-3 \\equiv 4 \quad (\text{কারণ } -3 + 7 =4)$$ 6. সুতরাং, ভাগশেষ হবে $4$। --- 7. এখন পরবর্তী প্রশ্ন: $42.42 = k(14 + \frac{m}{50})$, যেখানে $k$ এবং $m$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $m < 50$, $k + m$ এর মান নির্ণয়। 8. সমীকরণটিকে সম্ভাব্য পূর্ণসংখ্যার সাথে প্রকাশ করতে: $$42.42 = k\left(14 + \frac{m}{50}\right)$$ 9. উভয় পাশে 50 গুণ করলে: $$42.42 \times 50 = k (14 \times 50 + m)$$ $$2121 = k(700 + m)$$ 10. এখন $k$ এবং $m$ এমনভাবে বেছে নিতে হবে যাতে $700 + m$ একটি ভাগ করা পূর্ণ সংখ্যার গুণক হয়। 11. $k=3$ এবং $m=7$ হলে: $$3(700 + 7) = 3 \times 707 = 2121$$ যা সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে। 12. অতএব, $k + m = 3 + 7 = 10$। --- 13. এখন তৃতীয় প্রশ্ন: একজন লোক 5 দিনে মোট 100টি কলা খেয়েছে যেখানে প্রতিদিন আগের দিনের থেকে 6 টি বেশি কলা খেয়েছেন। প্রথম দিন কত কলা খেয়েছিল? 14. ধরা যাক প্রথম দিনে $x$ টি কলা খেয়েছে। তাহলে পাঁচ দিনের কলার সংখ্যাগুলি হবে: $$x, x+6, x+12, x+18, x+24$$ 15. মোট কলা: $$x + (x+6) + (x+12) + (x+18) + (x+24) = 100$$ 16. যোগফল: $$5x + (6 + 12 + 18 + 24) = 100$$ $$5x + 60 = 100$$ 17. সমাধান: $$5x = 40$$ $$x = 8$$ 18. সুতরাং, প্রথম দিনে 8 টি কলা খেয়েছিল।