1. **Exercice 1 :** Soit $f : ]-\infty, -2[ \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{x^2}{1+x}$. 1. Montrer que $f$ est injective. - Pour montrer que $f$ est injective, on doit montrer que si $f(x_1) = f(x_2)$ alors $x_1 = x_2$. - Supposons $f(x_1) = f(x_2)$, donc $$\frac{x_1^2}{1+x_1} = \frac{x_2^2}{1+x_2}.$$ - En multipliant en croix, $$x_1^2(1+x_2) = x_2^2(1+x_1).$$ - Développons : $$x_1^2 + x_1^2 x_2 = x_2^2 + x_1 x_2^2.$$ - Regroupons tous les termes : $$x_1^2 - x_2^2 = x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2.$$ - Factorisons : $$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = x_1 x_2 (x_2 - x_1).$$ - Remarquons que $x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2)$, donc $$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = -x_1 x_2 (x_1 - x_2).$$ - Si $x_1 \neq x_2$, on peut diviser par $(x_1 - x_2)$ : $$x_1 + x_2 = -x_1 x_2.$$ - Or, pour $x < -2$, $1+x < -1$, donc $1+x$ est négatif, et $x^2$ est positif, donc $f(x)$ est strictement décroissante (on peut vérifier la dérivée), ce qui implique que $f$ est injective. 2. Déterminer $F = f(]-\infty, -2[)$. - Étudions la limite de $f(x)$ quand $x \to -\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{1+x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty.$$ - Étudions la limite quand $x \to -2^-$ : $$f(-2) = \frac{4}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4.$$ - Comme $f$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty, -2[$, l'image est $$F = ]-\infty, -4[.$$ 3. Considérons $g : ]-\infty, -2[ \to F$ définie par $g(x) = f(x)$. (a) Montrer que $g$ est bijective. - $g$ est injective (car $f$ l'est). - $g$ est surjective par définition de $F$. - Donc $g$ est bijective. (b) Déterminer $g^{-1}(y)$ pour tout $y \in F$. - On cherche $x$ tel que $$y = \frac{x^2}{1+x}.$$ - Multiplions : $$y(1+x) = x^2,$$ soit $$y + yx = x^2.$$ - Réarrangeons : $$x^2 - yx - y = 0.$$ - C'est une équation quadratique en $x$ : $$x^2 - yx - y = 0.$$ - Le discriminant est $$\Delta = y^2 + 4y.$$ - Les solutions sont $$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4y}}{2}.$$ - Comme $x < -2$, on choisit la solution qui satisfait cette condition : $$g^{-1}(y) = \frac{y - \sqrt{y^2 + 4y}}{2}.$$ (c) Calculer en fonction de $x$ : $$\frac{(g^{-1}(x))^2}{1 + g^{-1}(x)}.$$ - Par définition de $g$, on a $$f(g^{-1}(x)) = x,$$ donc $$\frac{(g^{-1}(x))^2}{1 + g^{-1}(x)} = x.$$ 2. **Exercice 2 :** Soient $A, B, C$ des parties d'un ensemble $E$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour $$(A \Delta B) \cup B = A \Delta (B \cup C).$$ - Rappel : la fonction caractéristique $\chi_X$ de $X$ est définie par $\chi_X(x) = 1$ si $x \in X$, sinon 0. - On sait que $\chi_{A \Delta B} = \chi_A + \chi_B \mod 2$. - Donc, $$\chi_{(A \Delta B) \cup B} = \max(\chi_{A \Delta B}, \chi_B),$$ $$\chi_{A \Delta (B \cup C)} = \chi_A + \chi_{B \cup C} \mod 2 = \chi_A + \max(\chi_B, \chi_C) \mod 2.$$ - L'égalité des ensembles équivaut à $$\max(\chi_A + \chi_B \mod 2, \chi_B) = \chi_A + \max(\chi_B, \chi_C) \mod 2$$ - En analysant les cas, on trouve que la condition nécessaire et suffisante est $$C \subseteq B.$$ 3. **Exercice 3 :** Soit $f(x) = \frac{|x-2| + |x+2|}{|x|} - 1$. 1. Déterminer le domaine de définition $D_f$. - $|x|$ au dénominateur, donc $x \neq 0$. - Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. 2. Écrire $f$ sans valeur absolue. - Étudions les signes : - $x-2$ est négatif pour $x < 2$, positif sinon. - $x+2$ est négatif pour $x < -2$, positif sinon. - $x$ est positif pour $x > 0$, négatif sinon. - Sur $]-\infty, -2[$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = -x - 2, \quad |x| = -x,$$ donc $$f(x) = \frac{(2 - x) + (-x - 2)}{-x} - 1 = \frac{-2x}{-x} - 1 = 2 - 1 = 1.$$ - Sur $[-2, 0[$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = x + 2, \quad |x| = -x,$$ donc $$f(x) = \frac{(2 - x) + (x + 2)}{-x} - 1 = \frac{4}{-x} - 1 = -\frac{4}{x} - 1.$$ - Sur $]0, 2[$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = x + 2, \quad |x| = x,$$ donc $$f(x) = \frac{(2 - x) + (x + 2)}{x} - 1 = \frac{4}{x} - 1.$$ - Sur $[2, +\infty[$ : $$|x-2| = x - 2, \quad |x+2| = x + 2, \quad |x| = x,$$ donc $$f(x) = \frac{(x - 2) + (x + 2)}{x} - 1 = \frac{2x}{x} - 1 = 2 - 1 = 1.$$ 3. Montrer que $f$ est paire. - Vérifions $f(-x) = f(x)$ pour $x \neq 0$. - Par les expressions ci-dessus, on voit que $f(-x) = f(x)$, donc $f$ est paire. 4. Étudier les variations sur $[0,1[$, $]1,2]$, $[2,+\infty[$. - Sur $]0,1[$ : $f(x) = \frac{4}{x} - 1$, dérivée $$f'(x) = -\frac{4}{x^2} < 0,$$ décroissante. - Sur $]1,2]$ : même expression, décroissante. - Sur $[2,+\infty[$ : $f(x) = 1$, constante. 5. Déduire les variations sur $D_f$. - Par symétrie (fonction paire), décroissante sur $]0,2[$, constante sur $[2,+\infty[$, et symétrique sur $]-\infty,0[$. 6. Déterminer valeurs max et min sur $]-1,1[$. - Sur $]0,1[$, $f$ décroissante de $+\infty$ vers $3$. - Sur $]-1,0[$, par symétrie, $f$ décroissante de $+\infty$ vers $3$. - Donc pas de maximum fini, minimum approchant $3$. 7. Construire la courbe (Cf). - La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - $f(x) \to +\infty$ quand $x \to 0$. - $f(x) = 1$ pour $|x| \geq 2$. 4. **Exercice 4 :** Soit $\varphi(x) = (x - 2E(\frac{x}{2}))(2E(\frac{x}{2}) - x + 2)$ où $E$ est la partie entière. 1. Déterminer $d\varphi$. - $\varphi$ est produit de fonctions en morceaux constantes par intervalles. - Sur chaque intervalle $[2k, 2k+2[$, $E(\frac{x}{2}) = k$ constant. - Donc $\varphi(x) = (x - 2k)(2k - x + 2) = -(x - 2k)(x - 2k - 2)$. - Dérivée : $$\varphi'(x) = -[(x - 2k)'(x - 2k - 2) + (x - 2k)(x - 2k - 2)'] = -[1 \cdot (x - 2k - 2) + (x - 2k) \cdot 1] = -[2x - 4k - 2].$$ - Donc $$\varphi'(x) = -2x + 4k + 2.$$ 2. Montrer que $\varphi$ est périodique de période 2. - Pour tout $x$, $\varphi(x+2) = (x+2 - 2E(\frac{x+2}{2}))(2E(\frac{x+2}{2}) - x - 2 + 2)$. - Comme $E(\frac{x+2}{2}) = E(\frac{x}{2} + 1) = E(\frac{x}{2}) + 1$, on a $$\varphi(x+2) = (x + 2 - 2(E(\frac{x}{2}) + 1))(2(E(\frac{x}{2}) + 1) - x - 2 + 2) = (x - 2E(\frac{x}{2}))(2E(\frac{x}{2}) - x + 2) = \varphi(x).$$ 3. Trouver l'expression de $\varphi$ sur $[0,2[$. - Ici $E(\frac{x}{2}) = 0$, donc $$\varphi(x) = x(2 - x) = 2x - x^2.$$ 4. Tracer $C_\varphi$ sur $[-4,4[$. - La fonction est périodique de période 2, donc on répète la parabole $2x - x^2$ décalée par intervalles de 2. **Réponses finales :** - Ex1 : $f$ injective, $F = ]-\infty, -4[$, $g$ bijective, $g^{-1}(y) = \frac{y - \sqrt{y^2 + 4y}}{2}$, et $\frac{(g^{-1}(x))^2}{1 + g^{-1}(x)} = x$. - Ex2 : Condition nécessaire et suffisante : $C \subseteq B$. - Ex3 : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, expressions sans valeur absolue selon intervalles, $f$ paire, variations décroissantes sur $]0,2[$, constante sur $[2,+\infty[$, valeurs extrêmes sur $]-1,1[$ approchant 3. - Ex4 : $\varphi'(x) = -2x + 4k + 2$ sur $[2k, 2k+2[$, $\varphi$ périodique de période 2, $\varphi(x) = 2x - x^2$ sur $[0,2[$.