1. **Zadanie 1: Oblicz wartości wyrażeń** **a.** $13 : (1 - \frac{1}{14}) - \frac{1}{13} \cdot (1 - \frac{14}{13})$ - Obliczamy $1 - \frac{1}{14} = \frac{14}{14} - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$ - Dzielimy: $13 : \frac{13}{14} = 13 \cdot \frac{14}{13} = 14$ - Obliczamy $1 - \frac{14}{13} = \frac{13}{13} - \frac{14}{13} = -\frac{1}{13}$ - Mnożymy: $\frac{1}{13} \cdot (-\frac{1}{13}) = -\frac{1}{169}$ - Sumujemy: $14 - (-\frac{1}{169}) = 14 + \frac{1}{169} = \frac{14 \cdot 169}{169} + \frac{1}{169} = \frac{2366 + 1}{169} = \frac{2367}{169}$ **b.** $2^{-2} \cdot 16^{\frac{3}{4}}$ - $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ - $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$ - Mnożymy: $\frac{1}{4} \cdot 8 = 2$ **c.** $(3 - 4\sqrt{2})^2 + 24\sqrt{2}$ - Rozwijamy kwadrat: $(3)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} + (4\sqrt{2})^2 = 9 - 24\sqrt{2} + 16 \cdot 2 = 9 - 24\sqrt{2} + 32 = 41 - 24\sqrt{2}$ - Dodajemy $24\sqrt{2}$: $41 - 24\sqrt{2} + 24\sqrt{2} = 41$ **d.** $|\sqrt{3} - 2| + |\sqrt{3} - 1|$ - $\sqrt{3} \approx 1.732$ - $|1.732 - 2| = | -0.268| = 0.268$ - $|1.732 - 1| = 0.732$ - Suma: $0.268 + 0.732 = 1$ **e.** $\frac{3^{2 \cdot 30} + 4^{2 \cdot 28}}{8^{10}}$ - $3^{60} + 4^{56}$ w liczbach bardzo dużych, ale zauważmy, że $8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}$ - $4^{56} = (2^2)^{56} = 2^{112}$ - $3^{60}$ pozostaje jako jest - Wyrażenie: $\frac{3^{60} + 2^{112}}{2^{30}} = 3^{60} \cdot 2^{-30} + 2^{112 - 30} = 3^{60} \cdot 2^{-30} + 2^{82}$ - To jest najprostsza forma bez kalkulatora **f.** $\log_7 13 - \log_7 91$ - Wykorzystujemy wzór: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ - $\log_7 \frac{13}{91} = \log_7 \frac{13}{7 \cdot 13} = \log_7 \frac{1}{7} = \log_7 7^{-1} = -1$ 2. **Zadanie 2: Redukcja wyrażeń** $-6a(3 + b) - (a - 3b)^2$ - Rozwijamy: $-6a \cdot 3 - 6a \cdot b - (a^2 - 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2) = -18a - 6ab - (a^2 - 6ab + 9b^2)$ - Usuwamy nawias: $-18a - 6ab - a^2 + 6ab - 9b^2$ - Redukujemy podobne: $-6ab + 6ab = 0$ - Ostatecznie: $-a^2 - 18a - 9b^2$ 3. **Zadanie 3: Cena roweru po podwyżkach** - Cena początkowa: $x$ - Po pierwszej podwyżce o 30%: $x \cdot 1.3$ - Po drugiej podwyżce o 30%: $x \cdot 1.3 \cdot 1.3 = x \cdot 1.69$ - Wzrost ceny: $x \cdot 1.69 - x = 0.69x = 690$ - Obliczamy $x$: $x = \frac{690}{0.69} = 1000$ - Obecna cena: $1000 \cdot 1.69 = 1690$ 4. **Zadanie 4: Rozwiąż nierówności** **a.** $4 \cdot (5 - \frac{4x}{4}) \leq 5 \cdot 5x$ - Upraszczamy: $4(5 - x) \leq 25x$ - $20 - 4x \leq 25x$ - $20 \leq 29x$ - $x \geq \frac{20}{29}$ **b.** $3x - 3 > 2x(x - 1)$ - Rozwijamy prawą stronę: $3x - 3 > 2x^2 - 2x$ - Przenosimy wszystko na lewą stronę: $3x - 3 - 2x^2 + 2x > 0$ - $-2x^2 + 5x - 3 > 0$ - Mnożymy nierówność przez $-1$ (zmienia znak): $2x^2 - 5x + 3 < 0$ - Rozwiązujemy $2x^2 - 5x + 3 = 0$ - Delta: $(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$ - Pierwiastki: $x = \frac{5 \pm 1}{4}$ - $x_1 = \frac{6}{4} = 1.5$, $x_2 = \frac{4}{4} = 1$ - Parabola jest wklęsła do góry, więc nierówność $<0$ jest między pierwiastkami - Rozwiązanie: $x \in (1, 1.5)$ 5. **Zadanie 5: Układ równań dla sadzonek** - $x$ - liczba sadzonek papryki, $y$ - pomidorów - $x + y = 900$ - Po miesiącu: papryka $0.9x$, pomidor $0.95y$ - Różnica: $0.9x = 0.95y - 300$ Układ: $$\begin{cases} x + y = 900 \\ 0.9x = 0.95y - 300 \end{cases}$$ 6. **Zadanie 6: Rozwiąż układ równań** $$\frac{2x - y}{3} + \frac{x + y}{4} = 3$$ $$2y - x = 12$$ - Mnożymy pierwsze równanie przez 12 (najmniejszy wspólny mianownik): $4(2x - y) + 3(x + y) = 36$ - Rozwijamy: $8x - 4y + 3x + 3y = 36$ - $11x - y = 36$ - Drugie równanie: $2y - x = 12$ - Wyrażamy $y$ z pierwszego: $y = 11x - 36$ - Podstawiamy do drugiego: $2(11x - 36) - x = 12$ - $22x - 72 - x = 12$ - $21x = 84$ - $x = 4$ - $y = 11 \cdot 4 - 36 = 44 - 36 = 8$ 7. **Zadanie 7: Wyznacz a** - Wielomian: $W(x) = 4x^3 - (2a + 3)x^2 + 6ax - 16$ - $x = -2$ jest pierwiastkiem, więc $W(-2) = 0$ - Obliczamy: $4(-2)^3 - (2a + 3)(-2)^2 + 6a(-2) - 16 = 0$ - $4(-8) - (2a + 3)(4) - 12a - 16 = 0$ - $-32 - 4(2a + 3) - 12a - 16 = 0$ - $-32 - 8a - 12 - 12a - 16 = 0$ - $-32 - 12 - 16 - 8a - 12a = 0$ - $-60 - 20a = 0$ - $-20a = 60$ - $a = -3$ 8. **Zadanie 8: Rozwiąż równanie** $3x(16 - x^2)(4 + 3x)(x^2 + 25) = 0$ - Produkt jest zero, więc przynajmniej jeden czynnik jest zero - $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ - $16 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ - $4 + 3x = 0 \Rightarrow 3x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$ - $x^2 + 25 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych - Rozwiązania: $x = 0, 4, -4, -\frac{4}{3}$ 9. **Zadanie 9: Funkcja kawałkami** $f(x) = \begin{cases} x + 3, & x \in [-5,0) \\ 3, & x \in [0,4) \\ -3x + 15, & x \in [4,5] \end{cases}$ **a.** Dziedzina: $[-5,5]$ **b.** Zbiór wartości: - Dla $x+3$ na $[-5,0)$: wartości od $-5+3=-2$ do $0+3=3$ (nie włączając 3) - Dla stałej 3 na $[0,4)$: wartość 3 - Dla $-3x+15$ na $[4,5]$: dla $x=4$ wartość $-12+15=3$, dla $x=5$ wartość $-15+15=0$ - Zbiór wartości: $[ -2, 3 ]$ **c.** Funkcja rosnąca na $[-5,0)$ **d.** Obliczamy $f(-4) - f(2) - f(\frac{3}{5})$ - $f(-4) = -4 + 3 = -1$ - $f(2) = 3$ (bo $2 \in [0,4)$) - $f(\frac{3}{5}) = 3$ (bo $\frac{3}{5} \in [0,4)$) - Wynik: $-1 - 3 - 3 = -7$ **e.** $g(x) = f(x) + 2$ - Zbiór wartości $g(x) = [ -2 + 2, 3 + 2 ] = [0, 5]$ **f.** Wykres $h(x) = f(x - 1)$ to przesunięcie wykresu $f$ o 1 w prawo. 10. **Zadanie 10: Wzór funkcji liniowej** - Funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla $x \in (-\infty, -8)$ - Przechodzi przez punkt $P(0,4)$ - Funkcja liniowa: $f(x) = ax + b$ - $f(0) = b = 4$ - Funkcja jest ujemna dla $x < -8$, więc zero jest w $x = -8$ - $f(-8) = 0 = a(-8) + 4 \Rightarrow -8a = -4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ - Wzór: $f(x) = \frac{1}{2}x + 4$ 11. **Zadanie 11: Zbiór wartości funkcji kwadratowej** - Funkcja dodatnia tylko dla $x \in (-5,1)$ - Parabola jest skierowana w dół (bo wartości dodatnie między pierwiastkami) - Wierzchołek jest między $-5$ i $1$, więc $a < 0$ - Punkt $A(5, -20)$ należy do wykresu - Postać kanoniczna: $f(x) = a(x - p)(x - q)$, gdzie $p = -5$, $q = 1$ - $f(5) = a(5 + 5)(5 - 1) = a \cdot 10 \cdot 4 = 40a = -20$ - $a = -\frac{1}{2}$ - Wierzchołek: $x_w = \frac{p + q}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$ - Wartość wierzchołka: $f(-2) = -\frac{1}{2}(-2 + 5)(-2 - 1) = -\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (-3) = -\frac{1}{2} \cdot (-9) = 4.5$ - Zbiór wartości: $(-\infty, 4.5]$ 12. **Zadanie 12: Miary kątów trójkąta** - $S$ jest środkiem okręgu i leży na odcinku $AC$ - $ASB = 70^\circ$ - Kąt wpisany oparty na średnicy $AC$ to kąt prosty - Kąt $ABC$ jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc $\angle ABC = 90^\circ$ - Kąt $ASB$ jest kątem środkowym opartym na łuku $AB$, więc $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle ASB = 35^\circ$ - Suma kątów w trójkącie: $180^\circ$ - $\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ 13. **Zadanie 13: Pole i obwód trójkąta** - Dane: $|AB|=4$, $|BC|=6$, $\angle ABC=60^\circ$ - Obliczamy $|AC|$ korzystając z cosinusa: $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC| \cos 60^\circ = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 36 - 24 = 28$$ - $|AC| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ - Pole trójkąta: $$P = \frac{1}{2} |AB| |BC| \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ - Obwód: $$O = 4 + 6 + 2\sqrt{7} = 10 + 2\sqrt{7}$$ 14. **Zadanie 14: Kwadrat i tangens kąta** - Kwadrat $ABCD$, punkt $E$ dzieli bok $AD$ na $|AE| : |ED| = 3 : 2$ **a.** Oblicz tangens kąta $ABE$ - Przyjmijmy $|AD| = a$ - Współrzędne: - $A = (0,0)$ - $D = (0,a)$ - $E$ dzieli $AD$ w stosunku $3:2$, więc $E = (0, \frac{3}{5}a)$ - $B = (a,0)$ - Wektory: - $\overrightarrow{BA} = A - B = (-a, 0)$ - $\overrightarrow{BE} = E - B = (-a, \frac{3}{5}a)$ - Tangens kąta między wektorami: $$\tan \theta = \frac{|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BE}|}{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BE}}$$ - Iloczyn skalarny: $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BE} = (-a)(-a) + 0 \cdot \frac{3}{5}a = a^2$$ - Iloczyn wektorowy (w 2D to skalar): $$|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BE}| = |-a \cdot \frac{3}{5}a - 0 \cdot (-a)| = \frac{3}{5}a^2$$ - Tangens: $$\tan \theta = \frac{\frac{3}{5}a^2}{a^2} = \frac{3}{5}$$ **b.** Oblicz pole kwadratu wiedząc, że pole trapezu $BCDE = 28$ - $BC = a$ - $CD = a$ - $E$ na $AD$ w $\frac{3}{5}a$ - Trapez $BCDE$ ma podstawy: - $BC = a$ - $DE = a - \frac{3}{5}a = \frac{2}{5}a$ - Wysokość trapezu to $a$ - Pole trapezu: $$P = \frac{(BC + DE)}{2} \cdot a = \frac{a + \frac{2}{5}a}{2} \cdot a = \frac{\frac{7}{5}a}{2} \cdot a = \frac{7}{10}a^2$$ - Równe 28: $$\frac{7}{10}a^2 = 28 \Rightarrow a^2 = 28 \cdot \frac{10}{7} = 40$$ - Pole kwadratu: $a^2 = 40$ **Odpowiedzi końcowe:** 1a. $\frac{2367}{169}$ 1b. $2$ 1c. $41$ 1d. $1$ 1e. $3^{60} \cdot 2^{-30} + 2^{82}$ 1f. $-1$ 2. $-a^2 - 18a - 9b^2$ 3. Cena obecna: $1690$ 4a. $x \geq \frac{20}{29}$ 4b. $x \in (1, 1.5)$ 5. Układ równań: $\begin{cases} x + y = 900 \\ 0.9x = 0.95y - 300 \end{cases}$ 6. $x=4$, $y=8$ 7. $a = -3$ 8. $x = 0, 4, -4, -\frac{4}{3}$ 9a. Dziedzina: $[-5,5]$ 9b. Zbiór wartości: $[-2,3]$ 9c. Funkcja rośnie na $[-5,0)$ 9d. Wartość: $-7$ 9e. Zbiór wartości $g$: $[0,5]$ 9f. Wykres $h(x) = f(x-1)$ to przesunięcie wykresu $f$ o 1 w prawo 10. $f(x) = \frac{1}{2}x + 4$ 11. Zbiór wartości: $(-\infty, 4.5]$ 12. Kąty trójkąta: $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle ACB = 35^\circ$, $\angle BAC = 55^\circ$ 13. Pole: $6\sqrt{3}$, obwód: $10 + 2\sqrt{7}$ 14a. $\tan \angle ABE = \frac{3}{5}$ 14b. Pole kwadratu: $40$