1. El problema pide mostrar que el conjunto $S = \{(1,-1),(0,1)\}$ es una base para el espacio vectorial $V = \mathbb{R}^2$. Esto implica comprobar dos propiedades: 2. a. Que $S$ es un generador de $\mathbb{R}^2$. Para demostrar que $S$ genera $\mathbb{R}^2$, debemos mostrar que cualquier vector $\mathbf{v} = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ puede expresarse como combinación lineal de los vectores de $S$. Es decir, existen escalares $a,b \in \mathbb{R}$ tales que: $$\mathbf{v} = a(1,-1) + b(0,1)$$ Esto significa: $$ (x,y) = (a, -a) + (0, b) = (a, -a + b) $$ Lo que genera el sistema: $$ x = a $$ $$ y = -a + b $$ De la primera ecuación tenemos $a = x$. Sustituyendo en la segunda: $$ y = -x + b \implies b = y + x $$ Por lo tanto, para todo $\mathbf{v} = (x,y)$, podemos escribir: $$ \mathbf{v} = x (1,-1) + (y + x)(0,1) $$ Esto muestra que $S$ genera $\mathbb{R}^2$. 3. b. Que $S$ es linealmente independiente. Para demostrar independencia lineal, consideremos la combinación lineal: $$ a(1,-1) + b(0,1) = (0,0) $$ Esto implica: $$ (a, -a) + (0, b) = (a, -a + b) = (0,0) $$ Por lo tanto: $$ a = 0 $$ $$ -a + b = b = 0 $$ Entonces los únicos escalares que satisfacen esta igualdad son $a = 0$ y $b = 0$, lo que significa que los vectores de $S$ son linealmente independientes. 4. Conclusión: El conjunto $S = \{(1,-1),(0,1)\}$ genera $\mathbb{R}^2$ y es linealmente independiente, por lo tanto, $S$ es una base para $\mathbb{R}^2$.