1. Problema este să găsim restul împărțirii la 10 a numărului $$N = 1^{1000} + 5^{2000} + 6^{3000} + 9^{4000}$$. 2. Pentru a rezolva această problemă, folosim proprietatea restului la împărțirea la 10, adică ne interesează ultimele cifre ale fiecărui termen. 3. Calculăm fiecare termen modulo 10: - $$1^{1000} \equiv 1 \pmod{10}$$ deoarece orice putere a lui 1 este 1. - $$5^{2000} \equiv 5 \pmod{10}$$ deoarece orice putere a lui 5 se termină cu cifra 5. - $$6^{3000} \equiv 6 \pmod{10}$$ deoarece orice putere a lui 6 se termină cu cifra 6. - Pentru $$9^{4000}$$, cifrele se repetă cu perioadă 2: $$9^1 \equiv 9$$, $$9^2 \equiv 1$$, deci pentru puteri pare, $$9^{2k} \equiv 1 \pmod{10}$$. Cum 4000 este par, avem $$9^{4000} \equiv 1 \pmod{10}$$. 4. Adunăm toate resturile: $$1 + 5 + 6 + 1 = 13$$ 5. Restul împărțirii lui 13 la 10 este: $$13 \equiv 3 \pmod{10}$$ 6. Deci, restul împărțirii numărului $$N$$ la 10 este 3. Răspunsul corect este B 3.