1. Pour le premier exercice (E x (n)) : - On a le point D défini par $\vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AC}$. - Cela signifie que pour construire D, on part du point A, on ajoute le vecteur $\vec{AB}$ puis on retranche $\vec{AC}$. On peut visualiser cela en allant de A vers B, puis de C vers A en sens inverse. 2. Pour montrer que $(BC) \, // \, (AD)$ : - Calculons $\vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AC}$. - Calculons $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \vec{AC} - \vec{AB}$. - On remarque que $\vec{AD} = -\vec{BC}$, donc $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$ sont colinéaires et de sens opposé. - Donc, $(BC)$ est parallèle à $(AD)$. 3. Deuxième exercice (EX02) : - Point P défini par $5 \vec{AB} + 4 \vec{PC} = \vec{0}$. - On isole $\vec{PC}$ : $4 \vec{PC} = -5 \vec{AB}$ donc $\vec{PC} = -\frac{5}{4} \vec{AB}$. - Donc P est sur la droite passant par C dans la direction opposée à $\vec{AB}$, à une distance $\frac{5}{4}$ du segment AB prolongé. 4. Montrer que ABPC est un trapèze : - Calculons $\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{AC} - \vec{AB} + (-\vec{PC})= \vec{AC} - \vec{AB} + \frac{5}{4} \vec{AB} = \vec{AC} + \frac{1}{4} \vec{AB}$. - Comme $\vec{AB}$ est côté, $\vec{PC}$ parallèle à $\vec{AB}$ montre que ABPC a deux côtés opposés parallèles, donc c'est un trapèze. 5. Troisième exercice (Ex 03) : - Points E et F définis par $\vec{AF} = \frac{4}{3} \vec{AC}$ et $\vec{AE} = \frac{3}{4} \vec{AB}$. - Pour construire E et F, partir de A et ajouter respectivement ces vecteurs. 6. Écriture de $\vec{EC}$ et $\vec{BF}$ : - $\vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE} = \vec{AC} - \frac{3}{4} \vec{AB}$. - $\vec{BF} = \vec{AF} - \vec{AB} = \frac{4}{3} \vec{AC} - \vec{AB}$. 7. Montrer que $(BF) \, // \, (EC)$ : - Exprimons $\vec{BF}$ et $\vec{EC}$ selon $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$: $$\vec{BF} = - \vec{AB} + \frac{4}{3} \vec{AC} ; \quad \vec{EC} = - \frac{3}{4} \vec{AB} + \vec{AC}.$$ - Cherchons un coefficient $k$ tel que $\vec{BF} = k \vec{EC}$: Cela revient à résoudre: $$-1 = k \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\quad \text{et} \quad \frac{4}{3} = k \cdot 1,$$ - D'où $k = \frac{4}{3}$ et $-1 = -\frac{3}{4}k = -\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = -1$. - Cette égalité est vraie, donc $\vec{BF}$ et $\vec{EC}$ sont colinéaires. - Donc les droites $(BF)$ et $(EC)$ sont parallèles. Réponses finales : - D est construit tel que $\vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AC}$ et $(BC) \, // \, (AD)$. - P est tel que $5 \vec{AB} + 4 \vec{PC} = \vec{0}$, et ABPC est un trapèze. - E et F construits par les relations données, avec $(BF) \, // \, (EC)$.