1) Écrire par ordre croissant les nombres : $a = \sqrt{11}$, $b = \sqrt{2}$ et $c = 5 \frac{1}{4}$. - Calculons les valeurs approchées : - $a = \sqrt{11} \approx 3.316$ - $b = \sqrt{2} \approx 1.414$ - $c = 5 \frac{1}{4} = 5.25$ - Par ordre croissant : $b < a < c$. 2) Rendre entier le dénominateur de chacun des réels suivants (simplifier le résultat) : - Pour $u = \frac{3}{2 - 4\sqrt{13}}$ : - Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué $2 + 4\sqrt{13}$ : $$u = \frac{3}{2 - 4\sqrt{13}} \times \frac{2 + 4\sqrt{13}}{2 + 4\sqrt{13}} = \frac{3(2 + 4\sqrt{13})}{(2)^2 - (4\sqrt{13})^2}$$ - Calcul du dénominateur : $4 - 16 \times 13 = 4 - 208 = -204$ - Donc : $$u = \frac{6 + 12\sqrt{13}}{-204} = -\frac{6 + 12\sqrt{13}}{204} = -\frac{6}{204} - \frac{12\sqrt{13}}{204} = -\frac{1}{34} - \frac{\sqrt{13}}{17}$$ - Pour $v = \frac{16}{\sqrt{25} - 3\sqrt{5} + 9}$ : - Simplifions le dénominateur : $\sqrt{25} = 5$, donc dénominateur = $5 - 3\sqrt{5} + 9 = 14 - 3\sqrt{5}$ - Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué $14 + 3\sqrt{5}$ : $$v = \frac{16}{14 - 3\sqrt{5}} \times \frac{14 + 3\sqrt{5}}{14 + 3\sqrt{5}} = \frac{16(14 + 3\sqrt{5})}{14^2 - (3\sqrt{5})^2}$$ - Calcul du dénominateur : $196 - 9 \times 5 = 196 - 45 = 151$ - Donc : $$v = \frac{224 + 48\sqrt{5}}{151}$$ 3) Calculer chacune des limites suivantes : - $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x - 2}}{x^2 - 3x - 4}$ 1. Calculons le dénominateur en $x=4$ : $4^2 - 3 \times 4 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ 2. Calculons le numérateur en $x=4$ : $\sqrt{2 \times 4 - 2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6} \neq 0$ 3. La limite est donc de la forme $\frac{\sqrt{6}}{0}$, ce qui tend vers $\pm \infty$ selon le signe du dénominateur proche de 4. 4. Pour $x$ légèrement supérieur à 4, $x^2 - 3x - 4 > 0$, donc limite $+\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{3x^3 + 6x^2 - x}}{x^3}$ 1. Factorisons sous la racine : $\sqrt{x^3(3 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2})} = x^{3/2} \sqrt{3 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}$ 2. Donc l'expression devient : $\frac{x^{3/2} \sqrt{3 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}}{x^3} = \frac{\sqrt{3 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}}{x^{3 - 3/2}} = \frac{\sqrt{3 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}}{x^{3/2}}$ 3. Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{3 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}} \to \sqrt{3}$ et $x^{3/2} \to +\infty$ 4. Donc la limite est $0$. - $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 - \cos(x)} - 1}{x^2}$ 1. Utilisons le développement de $\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ pour $x$ proche de 0. 2. Donc $2 - \cos(x) \approx 2 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = 1 + \frac{x^2}{2}$ 3. Alors $\sqrt{2 - \cos(x)} \approx \sqrt{1 + \frac{x^2}{2}} \approx 1 + \frac{x^2}{4}$ (en utilisant $\sqrt{1 + y} \approx 1 + \frac{y}{2}$ pour $y$ petit) 4. Le numérateur devient $\left(1 + \frac{x^2}{4}\right) - 1 = \frac{x^2}{4}$ 5. Donc l'expression est environ $\frac{\frac{x^2}{4}}{x^2} = \frac{1}{4}$ 6. La limite est donc $\frac{1}{4}$. --- Exercice 3 : 1) Montrer que $f$ définie par $f(x) = \frac{\sin(ax)}{x}$ pour $x < 0$ est continue à droite en 0. - Pour montrer la continuité à droite en 0, on doit vérifier que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$. - Or, $f$ est définie seulement pour $x < 0$, donc la continuité à droite en 0 concerne la limite par $x \to 0^-$. - Calculons $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(ax)}{x}$. - Utilisons la limite classique $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$. - Posons $t = ax$, alors $x = \frac{t}{a}$, donc $$\frac{\sin(ax)}{x} = \frac{\sin t}{t/a} = a \frac{\sin t}{t}$$ - Quand $x \to 0^-$, $t = ax \to 0$, donc $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = a \times 1 = a$$ - Pour que $f$ soit continue en 0, on définit $f(0) = a$. Donc $f$ est continue à droite en 0 si on pose $f(0) = a$.