1. Énoncé du problème : Calculer le quotient de l'algèbre de Lie $\mathscr{L}/\mathscr{S}$ dans le cas où $\mathscr{L} = \mathscr{S}(n, \mathbb{R})$. 2. Rappel : $\mathscr{S}(n, \mathbb{R})$ est l'algèbre de Lie des matrices symétriques $n \times n$ à coefficients réels. 3. Définition du quotient : Pour $X, Y \in \mathscr{L}$, on définit $$[X^{-}, Y^{-}]_{\mathscr{L}/\mathscr{S}} := [X, Y] + \mathscr{S}$$ où $X^{-} = X + \mathscr{S}$ est la classe de $X$ modulo $\mathscr{S}$. 4. Calcul de $\mathscr{L}/\mathscr{S}$ : Ici, $\mathscr{L} = \mathscr{S}(n, \mathbb{R})$ et $\mathscr{S} = \mathscr{S}(n, \mathbb{R})$. 5. Donc, le quotient $\mathscr{L}/\mathscr{S} = \mathscr{S}(n, \mathbb{R}) / \mathscr{S}(n, \mathbb{R})$ est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre. 6. En effet, toute classe $X^{-} = X + \mathscr{S}$ est égale à $\mathscr{S}$ puisque $X \in \mathscr{S}$. 7. Conclusion : $$\boxed{\mathscr{L}/\mathscr{S} = \{0\}}$$ Le quotient est l'algèbre de Lie nulle, contenant uniquement la classe nulle.