1. Das Problem lautet: Wir sollen die Funktion $f(t)$ für exponentielles Wachstum mit Basis $e$ angeben. 2. Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum mit Basis $e$ ist: $$f(t) = f_0 \cdot e^{kt}$$ Dabei ist $f_0$ der Anfangsbestand und $k$ die Wachstumskonstante. 3. Wichtig: Der Wachstumsfaktor $a$ hängt mit $k$ zusammen durch $a = e^k$, also $k = \ln(a)$. 4. Für Teil a): - Anfangsbestand $f_0 = 15$ - Wachstumsfaktor $a = 1{,}03$ - Wachstumskonstante $k = \ln(1{,}03)$ Also: $$f(t) = 15 \cdot e^{\ln(1{,}03) t}$$ 5. Für Teil b): - Anfangsbestand $f_0 = 10$ - Zum Zeitpunkt $t=1$ ist $f(1) = 12$ Setze in die Formel ein: $$12 = 10 \cdot e^{k \cdot 1} \Rightarrow e^k = \frac{12}{10} = 1{,}2$$ Also: $$k = \ln(1{,}2)$$ Funktion: $$f(t) = 10 \cdot e^{\ln(1{,}2) t}$$ 6. Für Teil c): - Anfangsbestand $f_0 = 200$ - Zum Zeitpunkt $t=2$ ist $f(2) = 242$ Setze ein: $$242 = 200 \cdot e^{2k} \Rightarrow e^{2k} = \frac{242}{200} = 1{,}21$$ Also: $$2k = \ln(1{,}21) \Rightarrow k = \frac{\ln(1{,}21)}{2}$$ Funktion: $$f(t) = 200 \cdot e^{\frac{\ln(1{,}21)}{2} t}$$ 7. Für Teil d): - Anfangsbestand $f_0 = 38$ - Wachstumskonstante $k = -0{,}023$ Funktion: $$f(t) = 38 \cdot e^{-0{,}023 t}$$ 8. Für Teil e): - Anfangsbestand $f_0 = 1000$ - Nach $t=6$ Wochen ist $f(6) = 1012$ Setze ein: $$1012 = 1000 \cdot e^{6k} \Rightarrow e^{6k} = 1{,}012$$ Also: $$6k = \ln(1{,}012) \Rightarrow k = \frac{\ln(1{,}012)}{6}$$ Funktion: $$f(t) = 1000 \cdot e^{\frac{\ln(1{,}012)}{6} t}$$ Das sind die Funktionen für alle Teile a) bis e).