1. Buktikan bahwa $ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $ dengan dua langkah: 1.1. Tunjukkan $ (A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c $: - Misalkan $ x \in (A \cup B)^c $, artinya $ x \notin A \cup B $. - Jadi, $ x \notin A $ dan $ x \notin B $. - Oleh karena itu, $ x \in A^c $ dan $ x \in B^c $, sehingga $ x \in A^c \cap B^c $. 1.2. Tunjukkan $ A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c $: - Misalkan $ x \in A^c \cap B^c $, artinya $ x \in A^c $ dan $ x \in B^c $. - Jadi, $ x \notin A $ dan $ x \notin B $. - Oleh karena itu, $ x \notin A \cup B $, sehingga $ x \in (A \cup B)^c $. Kesimpulan: Karena kedua inklusi terbukti, maka $ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $. 2. a. Tunjukkan bahwa 97 adalah bilangan ganjil: - Definisi bilangan ganjil: bilangan bulat $ n $ adalah ganjil jika ada bilangan bulat $ k $ sehingga $ n = 2k + 1 $. - Cari $ k $ untuk $ n = 97 $: $$ 97 = 2k + 1 \Rightarrow 2k = 96 \Rightarrow k = 48 $$ - Karena $ k = 48 $ adalah bilangan bulat, maka 97 adalah bilangan ganjil. 2. b. Himpunan: - $ A = \{ x \mid -5 \leq x < 5 \} $ adalah interval $ [-5, 5) $. - $ B = \{ x \mid x \geq 0 \} $ adalah interval $ [0, \infty) $. Garis bilangan: - $ A $ digambarkan sebagai garis dari -5 (termasuk) sampai 5 (tidak termasuk). - $ B $ digambarkan sebagai garis dari 0 (termasuk) ke arah positif tak hingga. 3. Argument: "Jika hujan deras maka terjadi banjir" dan "tidak terjadi banjir" maka "tidak hujan deras". 3.1. Ubah ke simbol: - $ p $: hujan deras - $ q $: terjadi banjir - Premis: $ p \to q $ dan $ \neg q $ - Kesimpulan: $ \neg p $ 3.2. Tabel kebenaran: | $p$ | $q$ | $p \to q$ | $\neg q$ | Premis ($p \to q \wedge \neg q$) | Kesimpulan ($\neg p$) | Premis $\to$ Kesimpulan | |---|---|---------|-------|-----------------------------|----------------|---------------------| | T | T | T | F | F | F | T | | T | F | F | T | F | F | T | | F | T | T | F | F | T | T | | F | F | T | T | T | T | T | 3.3. Analisis: - Baris terakhir menunjukkan premis benar dan kesimpulan benar. - Premis $\to$ kesimpulan selalu benar. Kesimpulan: Argument tersebut adalah tautologi.