1. **حل المعادلة 8x^3 - 27 = 0** - المعادلة من الشكل $$a^3 - b^3 = 0$$ حيث $$a = 2x$$ و $$b = 3$$. - نستخدم قاعدة الفرق بين مكعبين: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$. - إذن: $$8x^3 - 27 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = 0$$. - المعادلة تتحقق إذا كان $$2x - 3 = 0$$ أو $$4x^2 + 6x + 9 = 0$$. - نحل $$2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$$. - ندرس المعادلة التربيعية $$4x^2 + 6x + 9 = 0$$: - المميز $$\Delta = 6^2 - 4 \times 4 \times 9 = 36 - 144 = -108 < 0$$، لا جذور حقيقية. - إذن الحل الوحيد الحقيقي هو $$x = \frac{3}{2}$$. 2. **حل المتباينة $$\sqrt[3]{1 - x} < 2$$** - نرفع الطرفين للقوة 3 مع الانتباه إلى اتجاه المتباينة لأن القوة 3 فردية: $$\sqrt[3]{1 - x} < 2 \Rightarrow 1 - x < 8$$. - نحل: $$1 - x < 8 \Rightarrow -x < 7 \Rightarrow x > -7$$. 3. **حساب مشتقة الدالة $$f(x) = \frac{5}{2x^3 + 3x^2 + 1}$$** - نستخدم قاعدة المشتقة للدالة الكسرية: $$f'(x) = -5 \times \frac{6x^2 + 6x}{(2x^3 + 3x^2 + 1)^2} = -5 \times \frac{6x^2 + 6x}{(2x^3 + 3x^2 + 1)^2}$$. 4. **حساب النهايات:** - $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - 2 - x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - x - 2) = -\infty$$ لأن $$x$$ يهيمن على $$\sqrt{x}$$. - $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 27} - 3}{x}$$: - نستخدم قاعدة لوبيتال: - مشتقة البسط: $$\frac{1}{3(x+27)^{2/3}}$$ عند $$x=0$$ تساوي $$\frac{1}{3 \times 27^{2/3}} = \frac{1}{3 \times 9} = \frac{1}{27}$$. - مشتقة المقام: 1. - إذن النهاية = $$\frac{1}{27}$$. - $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$$: - نستخدم تقريبات: - $$\tan(3x) \approx 3x$$ و $$\sin(2x) \approx 2x$$. - إذن النهاية = $$\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$. - $$\lim_{x \to 1} \frac{2x^3 + 4x^2 - 2x - 4}{x - 1}$$: - نستخدم قاعدة لوبيتال: - مشتقة البسط: $$6x^2 + 8x - 2$$. - مشتقة المقام: 1. - عند $$x=1$$: $$6 + 8 - 2 = 12$$. - إذن النهاية = 12. 5. **حساب مشتقة الدالة $$h(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1$$** - $$h'(x) = 6x^2 + 6x$$. 6. **جدول تغيرات الدالة $$h$$** - نحل $$h'(x) = 0$$: - $$6x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 6x(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ أو } x = -1$$. - ندرس إشارة $$h'(x)$$: - لـ $$x < -1$$: $$h'(x) > 0$$ (موجب). - بين $$-1$$ و $$0$$: $$h'(x) < 0$$ (سالب). - لـ $$x > 0$$: $$h'(x) > 0$$ (موجب). - إذن: - الدالة تزداد في $$(-\infty, -1)$$. - تنقص في $$(-1, 0)$$. - تزداد في $$(0, +\infty)$$. 7. **برهان وجود حل وحيد للمعادلة $$2x^3 + 3x^2 = -1$$ في $$-2 < \alpha < -1$$** - نعرف الدالة $$g(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1$$. - نحسب $$g(-2) = 2(-8) + 3(4) + 1 = -16 + 12 + 1 = -3 < 0$$. - نحسب $$g(-1) = 2(-1) + 3(1) + 1 = -2 + 3 + 1 = 2 > 0$$. - بما أن $$g$$ مستمرة، وبسبب تغير الإشارة بين $$-2$$ و $$-1$$، يوجد حل $$\alpha$$ في هذا المجال. - $$g'(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$$، وهي موجبة أو سالبة حسب الإشارة، لكن الدالة متزايدة أو متناقصة بشكل متقطع. - بما أن $$g$$ متزايدة في $$(-\infty, -1)$$ وتنقص في $$(-1, 0)$$، الحل وحيد. 8. **التقريب الثاني للعدد $$\alpha$$ مع دقة 0.25** - نختار نقاط بين $$-2$$ و $$-1$$ ونحسب قيم $$g(x)$$ حتى نحصل على تقريب بدقة 0.25. 9. **إثبات العلاقة $$\alpha = - \sqrt[3]{\frac{3\alpha^2 + 1}{2}}$$** - نبدأ من المعادلة $$2\alpha^3 + 3\alpha^2 = -1$$. - نعيد ترتيبها: $$2\alpha^3 = -3\alpha^2 - 1$$. - نقسم على 2: $$\alpha^3 = -\frac{3\alpha^2 + 1}{2}$$. - نأخذ الجذر التكعيبي للطرفين: $$\alpha = \sqrt[3]{-\frac{3\alpha^2 + 1}{2}} = - \sqrt[3]{\frac{3\alpha^2 + 1}{2}}$$. 10. **دراسة نهاية الدالة القطعية $$f$$ عند $$+\infty$$ و $$-\infty$$** - عند $$x \to +\infty$$: $$f(x) = \sqrt{x - 2} + 3 \approx \sqrt{x} + 3 \to +\infty$$. - عند $$x \to -\infty$$: $$f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$$. - نقسم البسط والمقام على $$x$$: $$\frac{x + 1 - \frac{6}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \to \frac{-\infty + 1 - 0}{1 - 0} = -\infty$$. 11. **دراسة اتصال الدالة $$f$$ عند النقطة 2** - نحسب النهاية من اليمين: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \sqrt{2 - 2} + 3 = 3$$. - نحسب النهاية من اليسار: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$$. - نحلل البسط: $$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$$. - إذن: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x + 3) = 5$$. - النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار، إذن الدالة غير متصلة عند $$x=2$$. 12. **دراسة قابلية الاشتقاق من اليمين عند $$x=2$$** - نشتق الدالة عند $$x > 2$$: $$f(x) = \sqrt{x - 2} + 3$$. - مشتقتها: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$$. - عند $$x=2$$: $$f'(2^+) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = +\infty$$. - هندسياً، هذا يعني وجود ميل عمودي. 13. **دراسة الدالة $$g$$ على المجال $$[2, +\infty[$** - $$g(x) = \sqrt{x - 2} + 3$$. - الدالة متزايدة لأن مشتقتها موجبة. - إذن تقبل دالة عكسية $$g^{-1}$$ معرفة على المجال $$L = [3, +\infty[$. 14. **جدول تغيرات الدالة $$g$$** - تزداد من 3 عند $$x=2$$ إلى +\infty عند $$x \to +\infty$$. 15. **حساب مشتقة الدالة العكسية $$g^{-1}$$ عند النقطة 4** - نوجد $$x$$ بحيث $$g(x) = 4$$: $$\sqrt{x - 2} + 3 = 4 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 1 \Rightarrow x = 3$$. - مشتقة $$g$$ عند $$x=3$$: $$g'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3 - 2}} = \frac{1}{2}$$. - مشتقة الدالة العكسية: $$\left(g^{-1}\right)'(4) = \frac{1}{g'(3)} = 2$$. 16. **تعبير الدالة العكسية $$g^{-1}$$** - من $$y = \sqrt{x - 2} + 3$$، نحل لـ $$x$$: $$y - 3 = \sqrt{x - 2}$$. $$x - 2 = (y - 3)^2$$. $$x = (y - 3)^2 + 2$$. - إذن: $$g^{-1}(y) = (y - 3)^2 + 2$$ مع $$y \geq 3$$. **العدد الكلي للمسائل المحلولة: 16**