1. **Énoncé du problème :** On considère la relation $R$ définie sur $\mathbb{N}$ par $\forall x,y \in \mathbb{N}, xRy \Leftrightarrow \left(2x + \frac{y}{3}\right) \in \mathbb{N}$. Nous devons déterminer $7R25$, $6R29$, $4R4$, montrer que $R$ est une relation d'équivalence, puis déterminer la classe d'équivalence de l'élément $x \in \mathbb{N}$. --- 2. **Calcul de $7R25$, $6R29$, $4R4$ :** - Pour $7R25$ : vérifions si $2 \times 7 + \frac{25}{3} \in \mathbb{N}$. Calculons : $$2 \times 7 + \frac{25}{3} = 14 + \frac{25}{3} = \frac{42}{3} + \frac{25}{3} = \frac{67}{3}.$$ $\frac{67}{3}$ n'est pas un entier (car 67 n'est pas divisible par 3). Donc, $7 \not\!R 25$. - Pour $6R29$ : vérifions si $2 \times 6 + \frac{29}{3} \in \mathbb{N}$. Calculons : $$2 \times 6 + \frac{29}{3} = 12 + \frac{29}{3} = \frac{36}{3} + \frac{29}{3} = \frac{65}{3}.$$ $\frac{65}{3}$ n'est pas un entier. Donc, $6 \not\!R 29$. - Pour $4R4$ : vérifions si $2 \times 4 + \frac{4}{3} \in \mathbb{N}$. Calculons : $$2 \times 4 + \frac{4}{3} = 8 + \frac{4}{3} = \frac{24}{3} + \frac{4}{3} = \frac{28}{3}.$$ $\frac{28}{3}$ n'est pas un entier. Donc, $4 \not\!R 4$. **Observation :** Pour que $xRy$ soit vrai, $2x + \frac{y}{3}$ doit être entier. Cette condition demande que $\frac{y}{3}$ soit un entier (donc $y$ multiple de 3) et $2x$ entier (toujours vrai puisque $x \in \mathbb{N}$). --- 3. **Montrons que $R$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$ :** - *Réflexivité* : Pour tout $x \in \mathbb{N}$, vérifier si $xRx$ vrai. On a : $$2x + \frac{x}{3} = \frac{6x + x}{3} = \frac{7x}{3}.$$ Pour que cela soit entier, $\frac{7x}{3} \in \mathbb{N}$ doit être vrai. Cela impose que $3$ divise $7x$. Or, $3$ ne divise pas $7$, donc $3$ doit diviser $x$. Donc, $xRx$ est vrai seulement si $x$ est un multiple de $3$. La réflexivité n'est donc pas générale sur $\mathbb{N}$. ***Conclusion :*** $R$ n'est pas réflexive sur tout $\mathbb{N}$, donc $R$ **n'est pas** une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$. --- 4. **Classe d'équivalence de $x \in \mathbb{N}$ :** Cependant, supposons que $x$ soit un multiple de 3 pour étudier la classe d'équivalence. La classe d'équivalence de $x$, $[x]$, est l'ensemble des $y \in \mathbb{N}$ tels que $xRy$, c'est-à-dire : $$2x + \frac{y}{3} \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{y}{3} \in \mathbb{N} - 2x.$$ Cela signifie que $\frac{y}{3}$ est un entier, donc $y$ est multiple de 3, et la valeur $2x + \frac{y}{3}$ est entière. Ainsi, la classe $[x]$ correspond à l'ensemble des $y \in \mathbb{N}$ multiples de 3 tels que $2x + \frac{y}{3}$ entier. Comme $2x$ est entier pour $x$ entier, en pratique $y$ doit être multiple de 3. Donc : $$[x] = \{ y \in \mathbb{N} : y \equiv 0 \pmod 3 \}.$$ --- **Résumé final :** 1. $7R25$, $6R29$, $4R4$ sont fausses. 2. $R$ n'est pas une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$ car elle n'est pas réflexive pour tous les $x$. 3. La classe d'équivalence $[x]$ de tout $x$ pour lequel $xRx$ est vrai correspond au sous-ensemble des multiples de 3 dans $\mathbb{N}$. --- 5. **Exercice 4** : On considère la fonction $f : \mathbb{R} \setminus \{1/2\} \to \mathbb{R}$ définie par : $$f(x) = \frac{x+1}{2x-1}.$$ (Aucune question n'a été précisée pour cet exercice.)