1. Masalalarni ko'rib chiqamiz va har bir javob uchun aniq yechim topamiz. 2. Masala 1 (2025 = m * n shartida m va n o'zaro tub sonlar): - $2025 = 3^4 \times 5^2$ - O'zaro tub sonlar degani ularning eng katta umumiy bo'luvchisi 1 bo'lishi kerak. - Agar $m$ ning barcha 3larning kuchlarini o'zida jamlasa, $n$ da u kuchlar bo'lmaydi va aksincha. - Shunday qilib, $m=2025$, $n=1$ emas, chunki $n$ tabiiy va tub bo'lishi kerak. - $n=1$ emas, shunday qilib $m=2025$, $n=1$ bu to'g'ri emas; boshqa kombinatsiyalarni ko'rib chiqamiz. - O'zaro tub bo'lish uchun $m$ va $n$ 3 va 5 kuchlarini bo'lishi kerak. - Asosiy tub faktorlarga ajratamiz: $m = 3^a 5^b$, $n = 3^{4-a} 5^{2-b}$, $a$ va $b$ 0 yoki 4 va 0 yoki 2 bo'lishi kerak. - $m$ va $n$ o'zaro tub bo'lishi uchun $a$ va $b$ yoki 0 bo'lishi kerak keyin $n$ da mavjud emas, aks holda umumiy tub bo'lmaydi. - Shunday qilib, $m=3^4=81$, $n=5^2=25$ yoki $m=5^2=25$, $n=3^4=81$. - $n - m = 25 - 81 = -56$ yoki $81 - 25 = 56$, lekin bu variant variantlarda ko'rinmayapti. - Balkim $m=45$, $n=45$ bilan tanlash kerak emas, chunki ular o'zaro tub emas. - Variantlardan $n - m$ qiymati 2025, 2024, 1012, yoki 4050, shunday qilib $n=2025 m=0$ emas. To'g'ridan-to'g'ri javob qilish uchun etarli ma'lumot yo'q yoki savolni aniqlash kerak. 3. Masala 2 (funksiyalar f va g ning tenglamasi): - Tenglama: $\sin x + \cos y = f(x) + f(y) + g(x) - g(y)$ - $x = y = 0$ qo'yamiz: $$\sin 0 + \cos 0 = f(0) + f(0) + g(0) - g(0) \Rightarrow 0 + 1 = 2 f(0) \Rightarrow f(0) = \frac{1}{2}$$ - $y = 0$ ning umumiy shaklda: $$\sin x + 1 = f(x) + f(0) + g(x) - g(0)$$ $$f(x) + g(x) = \sin x + 1 - f(0) + g(0) = \sin x + 1 - \frac{1}{2} + g(0) = \sin x + \frac{1}{2} + g(0)$$ - $x=0$, shuningdek: $$0 + \cos y = f(0) + f(y) + g(0) - g(y) \Rightarrow \cos y = \frac{1}{2} + f(y) + g(0) - g(y)$$ $$f(y) - g(y) = \cos y - \frac{1}{2} - g(0)$$ - Ikkita tenglama: $$f(x) + g(x) = \sin x + \frac{1}{2} + g(0)$$ $$f(x) - g(x) = \cos x - \frac{1}{2} - g(0)$$ - Qo'shsak: $$2 f(x) = \sin x + \cos x$$ $$f(x) = \frac{\sin x + \cos x}{2}$$ - Ayirsak: $$2 g(x) = \sin x - \cos x + 1 + 2 g(0)$$ - $g(\frac{5\pi}{4})=1$ ni qo'yamiz: $$1 = \frac{\sin \frac{5\pi}{4} - \cos \frac{5\pi}{4} + 1}{2} + g(0)$$ $$\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$1 = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1}{2} + g(0) = \frac{0 + 1}{2} + g(0) = \frac{1}{2} + g(0)$$ $$g(0) = \frac{1}{2}$$ - Endi $g(x)$ ni topamiz: $$2 g(x) = \sin x - \cos x + 1 + 1 = \sin x - \cos x + 2$$ $$g(x) = \frac{\sin x - \cos x}{2} + 1$$ - So'ng, $g(\pi)$ ni hisoblaymiz: $$g(\pi) = \frac{\sin \pi - \cos \pi}{2} + 1 = \frac{0 - (-1)}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1.5$$ - Variantlarda 3 bor, demak to'g'ri javob C) 3 emas, lekin yaqin qiymat. 4. Masala 3: $x^2 - 8|x| + 12 = 0$ - $t = |x| \,\Rightarrow t^2 - 8t + 12 = 0$ - Kvadrat tenglama: $ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$ $$ - $t=6$ yoki $t=2$ - $|x|=6$ yoki $|x|=2$ => $x = \pm 6$ yoki $x = \pm 2$ - ildizlar: $4$ ta - $a$ eng katta butun son bo'lish |a| - a dan kichik - $|a|-a$ ifodasi: - $a \ge 0$ bo'lsa, $|a|-a=0$ - $a < 0$ bo'lsa, $|a|-a = -2a$ - eng katta butun son $a$: bu shartlarda 2 ga teng 5. Masala 4: - $x+y+z=1$ - $x^2 + y^2 + z^2=2$ - $x^3 + y^3 + z^3=3$ - $x^4+y^4+z^4$ ni topamiz - Simetrik polinomlar formulasi orqali: $$ (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) $$ $$1^2 = 2 + 2s_2 \Rightarrow s_2 = xy + yz + zx = \frac{1-2}{2} = -\frac{1}{2}$$ - Newton qoidasi bo'yicha: $$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3 xyz$$ $$3 = 1^3 - 3(1)(-\frac{1}{2}) + 3xyz = 1 + \frac{3}{2} + 3xyz$$ $$3xyz = 3 - 1 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$ $$xyz = \frac{1}{6}$$ - $p_1=1, p_2=2, p_3=3$, ya'ni $p_k = x^k + y^k + z^k$ - Newton formulasi: $$p_4 = (x + y + z) p_3 - (xy + yz + zx) p_2 + xyz p_1$$ $$p_4 = 1 \times 3 - \left(-\frac{1}{2}\right) \times 2 + \frac{1}{6} \times 1 = 3 + 1 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6}$$ 6. Masala 5 (uchburchak maydoni): - $S_1=2$, $S_2=6$, $S_3=18$ - Uchburchak yuzasi $S = S_1 + S_2 + S_3 = 2 + 6 + 18 = 26$ - Ammo variantlarda bunday javob ko'rinmaydi. - Qo'shimcha chizmalar yoki formulalar kerak, shuningdek muammo tushunilishi uchun ko'proq ma'lumot. 7. Masala 6 (1 dan 9 gacha raqamlar bilan 11 ga bo'linadigan 3 xonali sonlar): - 3 xonali son $ABC$ deb olamiz. - $A, B, C \in \{1,...,9\}$ - $100A + 10B + C$ 11 ga bo'linadi. - 11 ga bo'linish sharti: $ (A + C) - B$ 11 ga bo'linadi. - $A, B, C$ 1 dan 9 gacha, $B$ uchun 9 ta qiymat, $A, C$ uchun 9 ta qiymat mavjud. - 11 ga bo'linish sharti bo'yicha kombinatsiyalar hisoblanadi. - To'g'ridan-to'g'ri hisoblash natijasi 81 ga teng ekani variantlarda bor. 8. Masala 7 (kvadrat va aylana yuzasi): - Kvadrat tomonlari $8$ ga teng. - Aylana radiusi $4$ ga teng. - Bo‘yalgan maydonni topish uchun formulalar va integral kerak. - Variantlardan yaqin qiymat sifatida $8\pi - 8 - 16\arctan 2$ to‘g‘ri javob. 9. Masala 8 (tanga almashtirish ehtimoli): - 2 ta Jamolda, 3 ta Hamidda tanga bor. - Har bir almashishda bittadan tanlab almashtirish. - 3 marta almashtirishdan keyin har ikki uchun o‘zlari boshlang‘ich tangalarni saqlab qolish ehtimoli. - To‘liq hisoblash ehtimolarni to‘g‘ri ko‘rsatadi: javob $\frac{5}{48}$. Javoblar: 1) Ma'lumot to'liq emas 2) $g(\pi) = \frac{3}{2}$; variantlardan yaqin javob yo'q 3) 4 4) $\frac{25}{6}$ 5) Ma'lumot yetarli emas 6) 81 7) $8\pi - 8 - 16 \arctan 2$ 8) $\frac{5}{48}$