1. **Calculer les limites demandées** 1) $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + x + 3x}}{x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + 4x}}{x^2 + 4x + 3} = \frac{\sqrt{10 + 4 \times 1}}{1 + 4 + 3} = \frac{\sqrt{14}}{8}$$ 2) $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - x - x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 2x}$$ Pour $x \to +\infty$, on factorise sous la racine : $$\sqrt{x^2 (1 - \frac{2}{x})} = x \sqrt{1 - \frac{2}{x}}$$ Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{1 - \frac{2}{x}} \to 1$, donc la limite tend vers $+\infty$. 3) $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1 + x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x + 2} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} \to +\infty$$ 4) $$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 22 - 3}}{x^2 - 6x + 5} = \frac{\sqrt{5 + 19}}{25 - 30 + 5} = \frac{\sqrt{24}}{0}$$ Le dénominateur tend vers 0, numérateur vers $\sqrt{24} \neq 0$, donc la limite est $\pm \infty$. En testant à gauche et à droite on trouve la limite diverge vers $\pm \infty$ (limite non finie). 2. **Classer dans l'ordre croissant** les nombres $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[6]{7}, \sqrt[3]{14}$ On peut approximer : - $\sqrt{2} \approx 1.414$ - $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$ - $\sqrt[4]{5} \approx 1.495$ - $\sqrt[6]{7} \approx 1.395$ - $\sqrt[3]{14} \approx 2.410$ Ordre croissant : $\sqrt[6]{7} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{14}$ 3. **Fonction $f$ définie par**: $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x + 8} - 2}{x}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{12}, & x = 0 \end{cases}$$ a) Étudier la continuité en $x_0 = 0$: Calcul de la limite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+8} - 2}{x}$$ On pose $g(x) = \sqrt[3]{x + 8}$ qui est dérivable avec $g(0) = 2$. Par définition de la dérivée : $$\lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = g'(0) = \frac{1}{3 (2)^2} = \frac{1}{12}$$ Donc $$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{12} = f(0)$$ ce qui montre que $f$ est continue en 0. b) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus\{0\}$ : elle est composée de fonctions continues hors $x=0$, donc continue. --- EXERCICE 2 : 1) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x -1$ Dérivée: $$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$$ Calcul des racines de $f'$: $$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 64 - 48 = 16$$ $$x_1 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{8 + 4}{6} = 2$$ Étude du signe de $f'$ - $f' > 0$ sur $(-\infty, \frac{2}{3})$ et $(2, +\infty)$ - $f' < 0$ sur $(\frac{2}{3}, 2)$ Donc $f$ est croissante, puis décroissante, puis croissante. 2) Montrer que la courbe coupe l'axe des abscisses en un seul point $\alpha \in ]2, 3[$ Calculs : $$f(2) = 8 - 16 + 8 - 1 = -1$$ $$f(3) = 27 - 36 + 12 - 1 = 2$$ Donc $f(2) < 0$ et $f(3) > 0$, par continuité il existe $\alpha \in ]2,3[$ tel que $f(\alpha) = 0$. 3) Méthode de dichotomie pour $\alpha$ avec précision $1.25 \times 10^{-1}$ On démarre l'intervalle $[2,3]$, on calcule $f(m)$ avec $m=2.5$ et réduit l'intervalle en fonction du signe de $f(m)$ jusqu'à ce que la longueur soit inférieure à $0.125$. --- EXERCICE 3 : 1) Montrer que $x^5 + x^3 - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,1[$. Étudier $g(x) = x^5 + x^3 -1$: - $g(0) = -1 < 0$ - $g(1) = 1 +1 -1 =1 >0$ $g$ strictement croissante car $g'(x) = 5x^4 + 3x^2 >0$ pour tout $x$. Par le théorème des valeurs intermédiaires l'unique $\alpha \in ]0,1[$ existe. 2) Fonction définie par $$f(x) = \begin{cases} x^5, & x \leq \alpha \\ 1 - x^3, & x > \alpha \end{cases}$$ Montrer continuité en $x_0 = \alpha$: Calcul des limites de part et d'autre : $$\lim_{x \to \alpha^-} f(x) = \alpha^5$$ $$\lim_{x \to \alpha^+} f(x) = 1 - \alpha^3$$ Or de l'équation, $\alpha$ satisfait $\alpha^5 + \alpha^3 = 1$, alors: $$\alpha^5 = 1 - \alpha^3$$ Donc $$\lim_{x \to \alpha^-} f(x) = \lim_{x \to \alpha^+} f(x) = f(\alpha)$$ Donc $f$ est continue en $\alpha$. b) Conclusion: $f$ continue sur $\mathbb{R}$. --- EXERCICE 4 : Soit $f(x) = x + 2 \sqrt{x+3} -1$ 1) Domaine de définition : $x +3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$ Limites aux bornes : - $$\lim_{x \to -3^+} f(x) = -3 + 2 \times 0 -1 = -4$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ (dominée par $x$) 2a) Montrer que $$f'(x) = \frac{\sqrt{1+x+1}}{\sqrt{x+3}}$$ Dérivons $f$: $$f'(x) = 1 + 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{x+3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}}$$ Corrigé: l'énoncé semble avoir une erreur, la dérivée correcte est $$f'(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}}$$ 2b) Étude du signe: Comme $\sqrt{x+3} > 0$ pour $x > -3$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-3, +\infty[$. 3) Tableau de variation : $\nearrow$ sur $[-3, +\infty[$ de $f(-3) = -4$ à $+\infty$ 4a) Soit la restriction $g$ de $f$ sur $[0, +\infty[$. Comme $g$ strictement croissante et continue sur $[0, +\infty[$ elle admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $J = [g(0), +\infty[$ Calcul de $g(0)$: $$g(0) = 0 + 2 \sqrt{3} -1 = 2\sqrt{3} -1$$ 4b) $g^{-1}$ strictement croissante sur $J$. 5a) Montrer que $g^{-1}(2\sqrt{3} -1) = 0$. Par définition de l'inverse c'est vrai puisque $g(0) = 2\sqrt{3} -1$.\ 5b) Pour $x \in J$, $g^{-1}(x)$ est solution de $$x = t + 2 \sqrt{t+3} -1$$ Posons $y = \sqrt{t +3} \Rightarrow t = y^2 - 3$ Substituons: $$x = y^2 - 3 + 2y -1 = y^2 + 2y -4$$ Résolvons pour $y$: $$y^2 + 2y - (x+4) = 0$$ $$y = -1 \pm \sqrt{1 + x + 4} = -1 \pm \sqrt{x + 5}$$ Comme $y = \sqrt{t+3} \geq 0$, on prend $$y = -1 + \sqrt{x+5}$$ Donc $$t = ( -1 + \sqrt{x+5} )^2 - 3 = x + 3 - 2 \sqrt{x+5} + 1 - 3 = x + 1 - 2 \sqrt{x+5}$$ Ainsi: $$g^{-1}(x) = x + 1 - 2 \sqrt{x+5}$$ ---