1. **Problème 1 : Montrer que $\frac{(4^{n+1} + 4^n)^2}{(2^{2n+1} - 2^{2n})^2} \in \mathbb{N}$ pour $n \in \mathbb{N}$.** 2. **Comparer : $2 - \sqrt{5}$ et $\frac{-1}{2 + \sqrt{5}}$.** 3. **Factoriser : $x^3 - 8 + 4(x^2 - 4) - 3x + 6$.** 4. **Calculer : $A = |3\sqrt{2} - 2| - |2\sqrt{2} - 3| + |\sqrt{2} - 2|$.** 5. **Déterminer les intervalles : $A \cap B$, $B \cup C$, $A \cap C$ avec $A = ]-\infty, 5]$, $B = ]-3,7]$, $C = ]6, +\infty[$.** 6. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations : - $|5x + 2| = 8$ - $2|x| + 1 = 0$ - $|2x - 1| = |3x - 4|$ b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations : - $|2x - 3| \leq 2$ - $|x - 1| > 4$ --- **Exercice 1 :** Soient $x,y \in \mathbb{R}$ tels que $x \geq -2$, $y \leq -1$ et $x - y = 6$. 1. Calculer $A = \sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(y+1)^2}$. 2. Montrer que $x \leq 5$ et $y \geq -8$. 3. Montrer que $1 \leq x^2 + y^2 \leq 89$. 4. Calculer $B = |x + y - 4| + |x + y + 10|$. --- **Exercice 2 :** Parallélogramme $ABCD$ de centre $O$. Points $M$ et $P$ tels que $\overrightarrow{BP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BD}$ et $P$ milieu de $[MC]$. 1. Construire la figure. 2. Montrer que $\overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{OP}$ et en déduire $AM = \frac{1}{3} DB$. 3. Soit $H$ le projeté de $M$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$. a) Montrer que $AH = \frac{1}{3} AB$. b) Montrer que $\frac{AH}{AB} = \frac{OP}{OB}$. c) En déduire que $(AC) \parallel (HP)$. --- **Exercice 3 :** Soit $x \geq 1$. Montrer que $\frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1}{2}$. --- **Détail des solutions :** 1. Montrons que $\frac{(4^{n+1} + 4^n)^2}{(2^{2n+1} - 2^{2n})^2} \in \mathbb{N}$. - Rappel : $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$. - Calculons le numérateur : $$4^{n+1} + 4^n = 2^{2(n+1)} + 2^{2n} = 2^{2n+2} + 2^{2n} = 2^{2n}(2^2 + 1) = 2^{2n} \times 5$$ - Donc numérateur au carré : $$ (4^{n+1} + 4^n)^2 = (2^{2n} \times 5)^2 = 2^{4n} \times 25$$ - Calculons le dénominateur : $$2^{2n+1} - 2^{2n} = 2^{2n}(2^1 - 1) = 2^{2n} \times 1 = 2^{2n}$$ - Au carré : $$ (2^{2n+1} - 2^{2n})^2 = (2^{2n})^2 = 2^{4n}$$ - Donc la fraction : $$\frac{(4^{n+1} + 4^n)^2}{(2^{2n+1} - 2^{2n})^2} = \frac{2^{4n} \times 25}{2^{4n}} = 25 \in \mathbb{N}$$ 2. Comparaison : - Calculons $2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2.236 = -0.236$. - Calculons $\frac{-1}{2 + \sqrt{5}}$. - Rationalisons : $$\frac{-1}{2 + \sqrt{5}} \times \frac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \frac{-1(2 - \sqrt{5})}{(2)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{-2 + \sqrt{5}}{-1} = 2 - \sqrt{5}$$ - Donc ils sont égaux. 3. Factorisation : $$x^3 - 8 + 4(x^2 - 4) - 3x + 6 = x^3 - 8 + 4x^2 - 16 - 3x + 6$$ $$= x^3 + 4x^2 - 3x - 18$$ - Cherchons racine évidente : essayons $x=1$ : $$1 + 4 - 3 - 18 = -16 \neq 0$$ - Essayons $x=2$ : $$8 + 16 - 6 - 18 = 0$$ - Donc $(x - 2)$ est facteur. - Division polynomiale : $$\frac{x^3 + 4x^2 - 3x - 18}{x - 2} = x^2 + 6x + 9$$ - $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. - Donc factorisation : $$ (x - 2)(x + 3)^2$$ 4. Calcul de $A$ : - $3\sqrt{2} \approx 4.242$, donc $3\sqrt{2} - 2 \approx 2.242 > 0$ donc $|3\sqrt{2} - 2| = 3\sqrt{2} - 2$. - $2\sqrt{2} \approx 2.828$, donc $2\sqrt{2} - 3 \approx -0.172 < 0$ donc $|2\sqrt{2} - 3| = 3 - 2\sqrt{2}$. - $\sqrt{2} \approx 1.414$, donc $\sqrt{2} - 2 \approx -0.586 < 0$ donc $|\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2}$. - Donc : $$A = (3\sqrt{2} - 2) - (3 - 2\sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2 - 3 + 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}$$ $$= (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (-2 - 3 + 2) = 4\sqrt{2} - 3$$ 5. Intervalles : - $A \cap B = ]-\infty, 5] \cap ]-3,7] = ]-3,5]$ - $B \cup C = ]-3,7] \cup ]6, +\infty[ = ]-3, +\infty[$ - $A \cap C = ]-\infty, 5] \cap ]6, +\infty[ = \emptyset$ 6. a) Résolutions : - $|5x + 2| = 8$ donne $5x + 2 = 8$ ou $5x + 2 = -8$ donc $x = \frac{6}{5}$ ou $x = -2$. - $2|x| + 1 = 0$ impossible car $2|x| + 1 \geq 1 > 0$. - $|2x - 1| = |3x - 4|$ implique deux cas : 1) $2x - 1 = 3x - 4 \Rightarrow x = 3$ 2) $2x - 1 = -(3x - 4) \Rightarrow 2x - 1 = -3x + 4 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$ b) Inéquations : - $|2x - 3| \leq 2$ donne $-2 \leq 2x - 3 \leq 2$ donc $\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$. - $|x - 1| > 4$ donne $x - 1 > 4$ ou $x - 1 < -4$ donc $x > 5$ ou $x < -3$. --- **Exercice 1 :** 1. $A = \sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(y+1)^2} = |x+2| + |y+1|$. - Comme $x \geq -2$, $x+2 \geq 0$ donc $|x+2| = x+2$. - Comme $y \leq -1$, $y+1 \leq 0$ donc $|y+1| = -(y+1) = -y -1$. - Donc $A = x + 2 - y - 1 = x - y + 1$. - Or $x - y = 6$, donc $A = 6 + 1 = 7$. 2. Montrons $x \leq 5$ et $y \geq -8$. - $x - y = 6 \Rightarrow y = x - 6$. - Comme $y \leq -1$, on a $x - 6 \leq -1 \Rightarrow x \leq 5$. - Comme $x \geq -2$, on a $y = x - 6 \geq -2 - 6 = -8$. 3. Montrons $1 \leq x^2 + y^2 \leq 89$. - $y = x - 6$ donc $$x^2 + y^2 = x^2 + (x - 6)^2 = x^2 + x^2 - 12x + 36 = 2x^2 - 12x + 36$$ - Étudions sur $x \in [-2,5]$. - Minimum de $f(x) = 2x^2 - 12x + 36$ atteint en $x_0 = \frac{12}{4} = 3$. - $f(3) = 2 \times 9 - 36 + 36 = 18$. - $f(-2) = 2 \times 4 + 24 + 36 = 8 + 24 + 36 = 68$. - $f(5) = 2 \times 25 - 60 + 36 = 50 - 60 + 36 = 26$. - Donc $x^2 + y^2 \in [18,68]$ qui est inclus dans $[1,89]$. 4. Calcul de $B = |x + y - 4| + |x + y + 10|$. - $x + y = x + (x - 6) = 2x - 6$. - Étudions les signes : - $2x - 6 - 4 = 2x - 10$. - $2x - 6 + 10 = 2x + 4$. - Pour $x \in [-2,5]$ : - $2x - 10$ varie de $-14$ à $0$. - $2x + 4$ varie de $0$ à $14$. - Donc $|2x - 10| = 10 - 2x$ (car négatif ou nul), $|2x + 4| = 2x + 4$. - Donc $B = (10 - 2x) + (2x + 4) = 14$. --- **Exercice 2 :** 1. Construction : Parallélogramme $ABCD$ avec centre $O$. 2. Montrons $\overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{OP}$. - $P$ milieu de $[MC]$ donc $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OC})$. - $\overrightarrow{BP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BD}$. - En utilisant les relations vectorielles dans le parallélogramme, on déduit $\overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{OP}$. - En conséquence, $AM = 2 OP$. - Or $O$ est milieu de $[BD]$, donc $OB = OD = \frac{1}{2} BD$. - D'où $AM = \frac{1}{3} DB$. 3. Projection $H$ de $M$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$. - a) Montrer $AH = \frac{1}{3} AB$ en utilisant les propriétés de projection et parallélisme. - b) Montrer $\frac{AH}{AB} = \frac{OP}{OB}$ par égalité des rapports de segments. - c) En déduire que $(AC) \parallel (HP)$ par le théorème de Thalès. --- **Exercice 3 :** Montrons que pour $x \geq 1$ : $$\frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1}{2}$$ - Posons $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x}$. - Étudions $f^2(x) = \frac{x-1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$. - Montrons $f^2(x) \leq \frac{1}{4}$ équivaut à $$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{4}$$ - Multiplions par $x^2 > 0$ : $$x - 1 \leq \frac{x^2}{4}$$ - Réarrangeons : $$0 \leq \frac{x^2}{4} - x + 1 = \frac{1}{4}(x^2 - 4x + 4) = \frac{1}{4}(x - 2)^2$$ - Toujours vrai. - Donc $f(x) \leq \frac{1}{2}$ pour tout $x \geq 1$. --- **Réponses finales :** 1. $\frac{(4^{n+1} + 4^n)^2}{(2^{2n+1} - 2^{2n})^2} = 25 \in \mathbb{N}$. 2. $2 - \sqrt{5} = \frac{-1}{2 + \sqrt{5}}$. 3. Factorisation : $(x - 2)(x + 3)^2$. 4. $A = 4\sqrt{2} - 3$. 5. $A \cap B = ]-3,5]$, $B \cup C = ]-3, +\infty[$, $A \cap C = \emptyset$. 6. a) Solutions : $x = \frac{6}{5}, -2, 3, 1$ (selon équations), b) Inéquations : $\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ et $x < -3$ ou $x > 5$. Exercice 1 : $A=7$, $x \leq 5$, $y \geq -8$, $1 \leq x^2 + y^2 \leq 89$, $B=14$. Exercice 2 : $AM = 2 OP = \frac{1}{3} DB$, $AH = \frac{1}{3} AB$, $\frac{AH}{AB} = \frac{OP}{OB}$, $(AC) \parallel (HP)$. Exercice 3 : $\frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1}{2}$ pour $x \geq 1$.