1. **التمرين 1** 1) **تحديد قيمة العبارتين (Q) و (P):** - العبارة (Q): $(\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{5} \text{ أو } \sqrt{(-2)^2} = 2)$ - $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{3} \approx 1.732$, مجموعهما $\approx 3.146$ - $\sqrt{5} \approx 2.236$ - إذن $3.146 < 2.236$ خطأ، لكن $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$ صحيح - فـ (Q) صحيحة لأن شرط "أو" واحد صحيح - العبارة (P): $(\sqrt{4} + \sqrt{1} < \sqrt{4} + 1 \text{ و } \pi \notin \mathbb{Z})$ - $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{1} = 1$, مجموع الجهة اليسرى $3$ - الجهة اليمنى: $2 + 1 = 3$ - إذن $3 < 3$ خاطئ - و$\pi$ ليس عددًا صحيحًا - إذن (P) خطأ لأن الشرط "و" كلاهما يجب أن يكون صحيحًا 2) **في العبارة (R):** - (R): $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$ - غير صحيحة لأن $x = -5$ تحقق أيضًا $x^2=25$ 3) **الاستدلال بالاستنكار المضاد للعكس:** - المطلوب إثبات: $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x \neq y \wedge x + y \neq 1) \Rightarrow \sqrt{x^2 - x + 1} \neq \sqrt{y^2 - y + 1}$$ - نثبت العكس ونصل إلى تناقض 4) **الاستدلال بالتكافؤات المتتالية:** - المطلوب: $$\forall x \in \mathbb{R} : \frac{4x}{x^2 + 4} \leq 1$$ - نبدأ من عدم المساواة ونحولها بطريقة متتالية لإثباتها 5) **البرهان بالترجع:** - المطلوب: $$\forall n \in \mathbb{N} : 5^0 + 5^1 + 5^2 + \cdots + 5^n = \frac{5^{n+1} - 1}{4}$$ - نستخدم البرهان الرياضي بالتراجع --- 2. **التمرين 2** 1) **إثبات إيجابية $x^2 - x + 1$ لكل $x \in \mathbb{R}$:** - ندرس المميز $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$ - المعادلة ليس لها جذور حقيقية، وانطلاقًا من معامل $x^2$ الموجب، الدالة موجبة دائمًا - ثم نطاق تعريف الدالة: $$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x + 3 \neq 0\}$$ - ندرس مميز المقام $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4 - 12 = -8 < 0$, المقام لا يساوي صفر لأي $x$, إذًا $$D_f = \mathbb{R}$$ 2) **إثبات أن $f(1) = 2$ هو قيمة دنيا:** - نعوض $x=1$: $$f(1) = \frac{3(1)^2 - 6(1) + 7}{(1)^2 - 2(1) + 3} = \frac{3 - 6 + 7}{1 - 2 + 3} = \frac{4}{2} = 2$$ - ندرس تفاضل $f$ أو نثبت أن هذه نقطة دنيا 3) **أ)** إثبات $f(x)$ مكبورة بالعدد 3 على $\mathbb{R}$: - يجب إثبات: $$f(x) \leq 3, \forall x \in \mathbb{R}$$ - نجري التحليل أو نبحث عن القيمة العظمى **ب)** هل العدد 3 قيمة قصوى: - ندرس نقاط التقعر أو الفراشة --- 3. **التمرين 3** 1) **جدول تغيرات الدالة $f(x) = x^2 - 6x + 8$:** - نحسب المشتقة: $$f'(x) = 2x -6$$ - نبحث عن صفر المشتقة: $$2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$$ - قيمة $f(3) = 9 - 18 + 8 = -1$ - $f$ تناقصية على $]-\infty, 3]$ وتزايدية على $[3, +\infty[$ 2) **طبيعة المنحنى (Cf) وعناصره المميزة:** - منحنى قطع مكافئ بأعلى نقطة عند $x=3$, القيمة الدنيا = -1 - يُقطع محور الأفاصيل عندما $f(x) = 0$ 3) **نقاط تقاطع (Cf):** - محور الأفاصيل (x): محلل المعادلة: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ $$ (x-2)(x -4) =0 \Rightarrow x=2 \text{ أو } x=4$$ - محور الأراتيب (y): عند $x=0$ $$f(0) = 0 - 0 + 8 = 8$$ 4) **مجموعة تعريف $g(x) = \sqrt{x - 3}$:** - $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ - إذًا $D_g = [3, +\infty[$ **جدول تغيرات $g$:** - الدالة دالة جذور تزايدية في $[3,+\infty[$ 5) يمكن رسم (Cf) و (Cg) في نفس المعلم 6) **حل المعادلة:** $$0 = x^2 - 6x - \sqrt{x - 3} + 8$$ - تعيين حل وحيد $\alpha$ في المجال $]3, +\infty[$ - بالإضافة إلى: $$4 < \alpha < 5$$ 7) **حل المتراجعة:** $$0 \geq x^2 - 6x + 8 - \sqrt{x - 3}$$