1. نبدأ بتحديد المشكلة: لدينا نقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد أ، ب، ج، د، ع، ونريد إيجاد انعكاس كل نقطة بالنسبة للخط الذي يحقق المعادلة $x = y = z$. 2. الخط $x = y = z$ هو خط يمر عبر الأصل ويكون متجهه الاتجاهي هو $\vec{u} = (1,1,1)$. 3. لإيجاد انعكاس نقطة $\vec{P} = (x,y,z)$ بالنسبة لهذا الخط، نتبع الخطوات التالية: - نحسب الإسقاط العمودي للنقطة على الخط: $$\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{P}) = \frac{\vec{P} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \vec{u} = \frac{x + y + z}{1 + 1 + 1} (1,1,1) = \frac{x + y + z}{3} (1,1,1)$$ - نحسب متجه الفرق بين النقطة والإسقاط: $$\vec{d} = \vec{P} - \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{P})$$ - الانعكاس هو: $$\vec{P'} = \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{P}) - \vec{d} = 2 \times \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{P}) - \vec{P}$$ 4. نطبق هذه الصيغة على كل نقطة: - للنقطة أ $(-3,-2,-1)$: $$s = \frac{-3 - 2 - 1}{3} = \frac{-6}{3} = -2$$ $$\vec{P'} = 2(-2,-2,-2) - (-3,-2,-1) = (-4,-4,-4) + (3,2,1) = (-1,-2,-3)$$ - للنقطة ب $(3,2,1)$: $$s = \frac{3 + 2 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$$ $$\vec{P'} = 2(2,2,2) - (3,2,1) = (4,4,4) - (3,2,1) = (1,2,3)$$ - للنقطة ج $(1,3,2)$: $$s = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$$ $$\vec{P'} = 2(2,2,2) - (1,3,2) = (4,4,4) - (1,3,2) = (3,1,2)$$ - للنقطة د $(-1,-3,-2)$: $$s = \frac{-1 - 3 - 2}{3} = \frac{-6}{3} = -2$$ $$\vec{P'} = 2(-2,-2,-2) - (-1,-3,-2) = (-4,-4,-4) + (1,3,2) = (-3,-1,-2)$$ - للنقطة ع $(2,4,2)$: $$s = \frac{2 + 4 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$ $$\vec{P'} = 2\left(\frac{8}{3},\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right) - (2,4,2) = \left(\frac{16}{3},\frac{16}{3},\frac{16}{3}\right) - (2,4,2) = \left(\frac{16}{3} - 2, \frac{16}{3} - 4, \frac{16}{3} - 2\right) = \left(\frac{10}{3}, \frac{4}{3}, \frac{10}{3}\right)$$ 5. إذن، نقاط الانعكاس هي: - أ' = $(-1,-2,-3)$ - ب' = $(1,2,3)$ - ج' = $(3,1,2)$ - د' = $(-3,-1,-2)$ - ع' = $\left(\frac{10}{3}, \frac{4}{3}, \frac{10}{3}\right)$ هذه هي نقاط الانعكاس لكل نقطة بالنسبة للخط $x = y = z$.