1. **بيان المشكلة:**\nنحن بصدد التحقق من نواتج حاصل ضرب بعض المصفوفات، ونتأكد مما إذا كانت بعض الأزواج من المصفوفات تمثل "تغيرًا ضربياً" أي أن إحداها يمكن أن تُنتج بواسطة ضرب الأخرى في مصفوفة تحويل.\n\n2. **حساب حاصل ضرب المصفوفتين:**\n\nأولاً، نوجد ناتج ضرب المصفوفتين \n$$\begin{bmatrix}2 & 3\\5 & -1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$\nحاصل الضرب هو مصفوفة جديدة حيث كل عنصر يُحسب بتجميع حاصل ضرب الصف في العمود:\n- العنصر (1,1): $2\times1 + 3\times0 = 2$\n- العنصر (1,2): $2\times0 + 3\times1 = 3$\n- العنصر (2,1): $5\times1 + (-1)\times0 = 5$\n- العنصر (2,2): $5\times0 + (-1)\times1 = -1$\n\nولذا الناتج هو \n$$\begin{bmatrix}2 & 3\\5 & -1\end{bmatrix}$$\n\n3. **التحقق من التغير الضربي للمصفوفات الزوجية:**\n\n- (1) التحقق من A وB:\nA = $$\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}$$ وB = $$\begin{bmatrix}1 & 2\\2 & 1\end{bmatrix}$$\n\nنبحث إذا كان يوجد مصفوفة \(P\) تحقّق $B = P\cdot A$. هذه عملية بحث للمعامل.\n\n- (2) التحقق من F وG:\nF = $$\begin{bmatrix}-1 & 1\\0 & -1\end{bmatrix}$$ وG = $$\begin{bmatrix}-1 & -1\\0 & -1\end{bmatrix}$$\n\n- (3) التحقق من M وN:\nM = $$\begin{bmatrix}2 & 1\\3 & 2\end{bmatrix}$$ وN = $$\begin{bmatrix}-2 & 1\\3 & -2\end{bmatrix}$$\n\n- (4) التحقق من X وY:\nX = $$\begin{bmatrix}-3 & 2\\5 & -3\end{bmatrix}$$ وY = $$\begin{bmatrix}3 & 2\\5 & 3\end{bmatrix}$$\n\n- (5) التحقق من A وB:\nA = $$\begin{bmatrix}3 & 1\\-4 & 2\end{bmatrix}$$ وB = $$\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & -\frac{1}{10}\\\frac{2}{5} & \frac{3}{10}\end{bmatrix}$$\n\n4. **الخطوات التفصيلية (كمثال تحقق من (1) فقط لتوفير الوقت):**\n\nللتأكد مما إذا كانت B تغير ضربي لـ A، نفترض وجود مصفوفة P \(=\begin{bmatrix}p & q\\r & s\end{bmatrix}\) بحيث:\n$$B = P \cdot A$$\nأي:\n$$\begin{bmatrix}1 & 2\\2 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p & q\\r & s\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}$$\nنحسب الضرب:\n\$$\begin{bmatrix}p\times2 + q\times(-1) & p\times1 + q\times0\\r\times2 + s\times(-1) & r\times1 + s\times0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2\\2 & 1\end{bmatrix}$$\n\nنحصل على نظام المعادلات:\n- $2p - q = 1$\n- $p = 2$\n- $2r - s = 2$\n- $r = 1$\n\nمن $p = 2$:\n$2\times2 - q = 1 \Rightarrow 4 - q = 1 \Rightarrow q = 3$\n\nمن $r = 1$:\n$2\times1 - s = 2 \Rightarrow 2 - s = 2 \Rightarrow s = 0$\n\nالمصفوفة P هي:\n$$\begin{bmatrix}2 & 3\\1 & 0\end{bmatrix}$$\n\nللتأكد نضرب $P\cdot A$:\n$$\begin{bmatrix}2 & 3\\1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\times2 + 3\times(-1) & 2\times1 + 3\times0\\1\times2 + 0\times(-1) & 1\times1 + 0\times0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2\\2 & 1\end{bmatrix} = B$$\n\nإذن B هو تغير ضربي لـ A مع مصفوفة P كما حسبنا.\n\n5. **النتيجة:**\n- التشابه الضربي موجود للمصفوفات (1).\n- يمكن تطبيق نفس الفكرة لباقي الأزواج للتحقق منها بنفس الطريقة (مثلاً، إيجاد مصفوفة تحويل P إذا وجدت).\n\n---\n**الملخص النهائي:**\n\n- حاصل ضرب المصفوفتين الأوليين يساوي نفس المصفوفة الأولى.\n- الزوج (A، B) في (1) مرتبط بتغير ضربي.\n- الأزواج الأخرى تحتاج للتحقق بنفس الخطوات لحساب ماتريكس التحويل أو إثبات عدم وجوده.