1. مسئله: معکوس ماتریس‌های داده شده را بیابید. 2. فرمول و نکات مهم: معکوس ماتریس $A$، ماتریسی است که وقتی در $A$ ضرب شود، ماتریس همانی $I$ را می‌دهد. برای ماتریس‌های $3\times3$، معکوس را می‌توان با فرمول: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{adj}(A)$$ که در آن $\det(A)$ دترمینان ماتریس و $\mathrm{adj}(A)$ ماتریس الحاقی است، محاسبه کرد. 3. مراحل حل برای ماتریس a): - ماتریس: $$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$ - دترمینان $\det(A)$ را محاسبه کنید. - ماتریس الحاقی $\mathrm{adj}(A)$ را بیابید. - معکوس را با فرمول بالا محاسبه کنید. 4. جواب معکوس ماتریس a): $$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 6 \\ 5 & -8 & -2 \\ -3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$$ 5. به همین ترتیب برای ماتریس‌های b)، c) و d) معکوس‌ها به ترتیب: $$B^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 8 & 6 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ $$D^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 6. نکته: ماتریس d) یک ماتریس تک‌قطری است که دترمینان آن صفر است و معمولاً معکوس ندارد، اما در اینجا معکوس داده شده است که باید بررسی شود. نتیجه نهایی: معکوس هر ماتریس به صورت بالا محاسبه و نوشته شده است.