1. Verilmiş məsələ: $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ matrisi üçün məxsusi vektorları tapmaq. 2. Məxsusi vektor tapmaq üçün əvvəlcə məxsusi ədədləri (eigenvalues) tapmalıyıq. Məxsusi ədədlər $\lambda$ üçün tənlik: $$\det(A - \lambda I) = 0$$ Burada $I$ 2x2 vahid matrisidir. 3. $A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 4 \\ -1 & -3-\lambda \end{pmatrix}$ 4. Determinantı hesablayaq: $$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(-3-\lambda) - (-1)(4) = 0$$ 5. Sadələşdirək: $$(2-\lambda)(-3-\lambda) + 4 = 0$$ $$-(6 + 2\lambda - 3\lambda - \lambda^2) + 4 = 0$$ $$-6 - 2\lambda + 3\lambda + \lambda^2 + 4 = 0$$ $$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$$ 6. Kvadrat tənliyi həll edək: $$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ 7. Məxsusi ədədlər: $$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = -2$$ 8. Hər bir $\lambda$ üçün məxsusi vektor $v$ tapmaq üçün: $$(A - \lambda I)v = 0$$ 9. $\lambda_1 = 1$ üçün: $$\begin{pmatrix} 2-1 & 4 \\ -1 & -3-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$$ 10. Tənliklər: $$1 \cdot x + 4 \cdot y = 0 \Rightarrow x = -4y$$ $$-1 \cdot x - 4 \cdot y = 0$$ (ikinci tənlik birincinin əksidir) 11. Məxsusi vektor: $$v_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ (istənilən $y \neq 0$ üçün) 12. $\lambda_2 = -2$ üçün: $$\begin{pmatrix} 2+2 & 4 \\ -1 & -3+2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$$ $$\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$$ 13. Tənliklər: $$4x + 4y = 0 \Rightarrow x = -y$$ $$-x - y = 0$$ (ikinci tənlik birincinin əksidir) 14. Məxsusi vektor: $$v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ (istənilən $y \neq 0$ üçün) Nəticə: Məxsusi vektorlar $v_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ və $v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$-dir.