1. **Énoncé du problème :** Calculer les matrices $F = A + B + C$, $G = A - B - C$, puis $H = tA + tB - tC$, où $tM$ désigne la transposée d'une matrice $M$. Matrices données : $$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ (Attention : la matrice $C$ semble incomplète, supposons $C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ pour qu'elle soit $3\times 3$). 2. **Calcul de $F = A + B + C$ :** Addition terme à terme : $$F = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+1+1 & 0+1-1 & 0+2+0 \\ 0+1-1 & 1+2+1 & 0+2+2 \\ 0+1+0 & 0+1+1 & 1+0+0\end{pmatrix}$$ Simplification : $$F = \begin{pmatrix}4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}$$ 3. **Calcul de $G = A - B - C$ :** Soustraction terme à terme : $$G = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ Calcul intermédiaire $A - B$ : $$= \begin{pmatrix}2-1 & 0-1 & 0-2 \\ 0-1 & 1-2 & 0-2 \\ 0-1 & 0-1 & 1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}$$ Puis $G = (A - B) - C$ : $$= \begin{pmatrix}1-1 & -1-(-1) & -2-0 \\ -1-(-1) & -1-1 & -2-2 \\ -1-0 & -1-1 & 1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ -1 & -2 & 1\end{pmatrix}$$ 4. **Calcul de $H = tA + tB - tC$ :** Déterminons d'abord les transposées : $$tA=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ (same as $A$ car $A$ est diagonale). $$tB=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0\end{pmatrix}$$ $$tC=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix}$$ Addition et soustraction terme à terme : $$H = tA + tB - tC = \begin{pmatrix}2+1-1 & 0+1-(-1) & 0+1-0 \\ 0+1-(-1) & 1+2-1 & 0+1-1 \\ 0+2-0 & 0+2-2 & 1+0-0\end{pmatrix}$$ Simplification : $$H = \begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ --- 5. **Conclusions :** - La matrice $F$ est obtenue par addition simple de $A$, $B$, $C$. - $G$ est la soustraction correspondante. - $H$ est obtenue avec les transposées. **Réponses :** $$F=\begin{pmatrix}4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ -1 & -2 & 1\end{pmatrix}, \quad H=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}$$