**Exercice 1** Soit la matrice $$A = \begin{pmatrix}0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}$$. 1. Montrer que le polynôme caractéristique est $$X_A(\lambda) = - (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda + 4)$$. - On calcule $$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 2 & -1 \\ 3 & -2-\lambda & 0 \\ -2 & 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}$$. - En développant le déterminant : $$\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= -\lambda \begin{vmatrix}-2-\lambda & 0 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1-\lambda \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 3 & -2-\lambda \\ -2 & 2 \end{vmatrix} \\ &= -\lambda \big((-2-\lambda)(1-\lambda)-0\big) -2 (3(1-\lambda)-0) -1(3 \times 2 - (-2)(-2-\lambda)) \\ &= -\lambda (-(2 + \lambda)(1 - \lambda)) - 6(1-\lambda) - (6 - 2(2+\lambda)) \\ &= -\lambda (-(2 + \lambda)(1 - \lambda)) - 6 + 6\lambda - 6 + 4 + 2\lambda \\ &= -\lambda (-(2 + \lambda)(1 - \lambda)) + 8\lambda - 8 \\ \end{aligned}$$ - Développons $$-(2+\lambda)(1-\lambda) = -(2 - 2\lambda + \lambda - \lambda^2) = - (2 - \lambda - \lambda^2) = -2 + \lambda + \lambda^2$$. - Donc $$\det(A-\lambda I) = -\lambda(-2 + \lambda + \lambda^2) + 8\lambda -8 = \lambda(2 - \lambda - \lambda^2) + 8\lambda - 8 = 2\lambda - \lambda^2 - \lambda^3 + 8\lambda - 8 = -\lambda^3 - \lambda^2 + 10\lambda -8$$. - À ce stade, on peut vérifier les racines en factorisant ou en les testant. Par essai, $$\lambda = 1$$ donne: $$-1 -1 +10 -8 = 0$$. - Divisons par $$\lambda - 1$$ pour factoriser: le quotient est $-(\lambda^2 + 2\lambda - 8) = -(\lambda - 2)(\lambda + 4)$. - Résultat: $$\det(A-\lambda I) = - (\lambda -1)(\lambda - 2)(\lambda + 4)$$, ce qui est ce qu'on voulait montrer. 2. Les valeurs propres sont donc $$\lambda_1 = 1$$, $$\lambda_2 = 2$$, $$\lambda_3 = -4$$ chacune de multiplicité 1. 3. Comme les valeurs propres sont toutes simples (multiplicité 1), la matrice $$A$$ est diagonalisable. 4. Déterminer les sous espaces propres $$E_1$$, $$E_2$$, $$E_{-4}$$ : - Pour chaque $$\lambda$$, résoudre $$(A - \lambda I)X=0$$. - Ex pour $$\lambda=1$$: $$A - I = \begin{pmatrix}-1 & 2 & -1 \\3 & -3 & 0 \\ -2 & 2 & 0\end{pmatrix}$$. - Trouver une base du noyau de cette matrice (même principe pour $$\lambda=2$$ et $$\lambda=-4$$). 5. Construire la matrice diagonale $$D$$ avec ces valeurs propres sur la diagonale et la matrice $$P$$ dont les colonnes sont les vecteurs propres trouvés. Alors $$A = P D P^{-1}$$. 6. Pour $$n\ge 1$$, $$A^n = P D^n P^{-1}$$ où $$D^n$$ est la matrice diagonale avec $$\lambda_i^n$$ sur la diagonale. --- **Exercice 2** Soit la matrice $$B=\begin{pmatrix}3 &1 & -1 \\ 1 &1 &1 \\ 2 &0 &2\end{pmatrix}$$. 1. Montrer que $$X_B(\lambda) = - (\lambda - 2)^3$$. - Calcul similaire à l'exercice 1, calcul du déterminant $$\det(B - \lambda I)$$. - Le résultat montre une racine triple $$\lambda = 2$$. 2. Puisque toutes les valeurs propres sont égales, la matrice est trigonalisable (car toute matrice carrée complexe l'est sur un corps algébriquement clos). 3. Trouver un vecteur $$V_1$$ propre associé à $$\lambda=2$$, résoudre $$(B - 2I)V_1 = 0$$. 4. Trouver $$\alpha \in \mathbb{R}$$ tel que $$B V_2 = \alpha V_1 + 2 V_2$$ pour $$V_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$. 5. Trouver $$\beta, \gamma \in \mathbb{R}$$ pour $$B V_3 = \beta V_1 + \gamma V_2 + 2 V_3$$ avec $$V_3 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$$. 6. Construire la matrice triangulaire supérieure $$T$$ et la matrice $$P$$ inversible telles que $$B = P T P^{-1}$$. 7. Résoudre le système différentiel $$\begin{cases} x' = 3x + y - z \\ y' = x + y + z \\ z' = 2x + 2z \end{cases}$$ - rédigé en forme vectorielle $$X' = B X$$ avec $$X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$. - La solution générale s’écrit en fonction de $$P$$ et de la matrice exponentielle $$e^{tT}$$. --- Pour chaque question, je peux détailler plus selon la demande. Cette correction montre les étapes essentielles à comprendre le test.