1. **Nêu bài toán:** Cho ánh xạ $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ xác định bởi $$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2, x_1 + 2x_2 + x_3, 3x_1 - 2x_3).$$ (a) Chứng minh $f$ là phép biến đổi tuyến tính. (b) Tìm ma trận của $f$ đối với cơ sở $\{e_1 = (1,1,1); e_2 = (0,1,-1); e_3 = (2,1,2)\}$ của $\mathbb{R}^3$. 2. **Chứng minh $f$ là biến đổi tuyến tính:** - Để $f$ là biến đổi tuyến tính, cần chứng minh: - $f(u+v) = f(u) + f(v)$ với mọi $u,v \in \mathbb{R}^3$. - $f(\alpha u) = \alpha f(u)$ với mọi $u \in \mathbb{R}^3$ và $\alpha \in \mathbb{R}$. - Gọi $u = (u_1,u_2,u_3)$, $v = (v_1,v_2,v_3)$. - Tính $f(u+v)$: $$f(u+v) = f(u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3) = ((u_1+v_1)+(u_2+v_2), (u_1+v_1)+2(u_2+v_2)+(u_3+v_3), 3(u_1+v_1)-2(u_3+v_3)).$$ - Tính $f(u) + f(v)$: $$f(u) + f(v) = (u_1+u_2, u_1+2u_2+u_3, 3u_1-2u_3) + (v_1+v_2, v_1+2v_2+v_3, 3v_1-2v_3) = ((u_1+v_1)+(u_2+v_2), (u_1+v_1)+2(u_2+v_2)+(u_3+v_3), 3(u_1+v_1)-2(u_3+v_3)).$$ - Do đó, $f(u+v) = f(u) + f(v)$. - Tính $f(\alpha u)$: $$f(\alpha u) = f(\alpha u_1, \alpha u_2, \alpha u_3) = (\alpha u_1 + \alpha u_2, \alpha u_1 + 2\alpha u_2 + \alpha u_3, 3\alpha u_1 - 2\alpha u_3) = \alpha (u_1 + u_2, u_1 + 2u_2 + u_3, 3u_1 - 2u_3) = \alpha f(u).$$ - Vậy $f$ là biến đổi tuyến tính. 3. **Tìm ma trận của $f$ theo cơ sở $\{e_1, e_2, e_3\}$:** - Cơ sở chuẩn $\{e_1, e_2, e_3\}$ cho $\mathbb{R}^3$ là: - $e_1 = (1,1,1)$ - $e_2 = (0,1,-1)$ - $e_3 = (2,1,2)$ - Tính $f(e_1)$: $$f(e_1) = f(1,1,1) = (1+1, 1+2\cdot1+1, 3\cdot1 - 2\cdot1) = (2, 4, 1).$$ - Tính $f(e_2)$: $$f(e_2) = f(0,1,-1) = (0+1, 0+2\cdot1 -1, 3\cdot0 - 2\cdot(-1)) = (1, 1, 2).$$ - Tính $f(e_3)$: $$f(e_3) = f(2,1,2) = (2+1, 2+2\cdot1 + 2, 3\cdot2 - 2\cdot2) = (3, 6, 2).$$ - Viết $f(e_i)$ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của $e_1, e_2, e_3$: Gọi $$f(e_i) = a_{1i} e_1 + a_{2i} e_2 + a_{3i} e_3,$$ tức là tìm $a_{1i}, a_{2i}, a_{3i}$ sao cho $$f(e_i) = a_{1i}(1,1,1) + a_{2i}(0,1,-1) + a_{3i}(2,1,2).$$ - Giải hệ cho $f(e_1) = (2,4,1)$: $$a_{11} + 0 + 2a_{31} = 2,$$ $$a_{11} + a_{21} + a_{31} = 4,$$ $$a_{11} - a_{21} + 2a_{31} = 1.$$ - Từ phương trình 1: $a_{11} + 2a_{31} = 2$. - Phương trình 2: $a_{11} + a_{21} + a_{31} = 4$. - Phương trình 3: $a_{11} - a_{21} + 2a_{31} = 1$. - Từ (2) và (3) cộng lại: $$2a_{11} + 3a_{31} = 5.$$ - Thay $a_{11} = 2 - 2a_{31}$ từ (1) vào: $$2(2 - 2a_{31}) + 3a_{31} = 5 \Rightarrow 4 - 4a_{31} + 3a_{31} = 5 \Rightarrow -a_{31} = 1 \Rightarrow a_{31} = -1.$$ - Thay $a_{31} = -1$ vào (1): $$a_{11} + 2(-1) = 2 \Rightarrow a_{11} - 2 = 2 \Rightarrow a_{11} = 4.$$ - Thay $a_{11} = 4$, $a_{31} = -1$ vào (2): $$4 + a_{21} -1 = 4 \Rightarrow a_{21} = 1.$$ - Vậy $f(e_1) = 4e_1 + 1e_2 - 1e_3$. - Tương tự giải cho $f(e_2) = (1,1,2)$: $$a_{12} + 0 + 2a_{32} = 1,$$ $$a_{12} + a_{22} + a_{32} = 1,$$ $$a_{12} - a_{22} + 2a_{32} = 2.$$ - Từ (1): $a_{12} + 2a_{32} = 1$. - Cộng (2) và (3): $$2a_{12} + 3a_{32} = 3.$$ - Thay $a_{12} = 1 - 2a_{32}$ vào: $$2(1 - 2a_{32}) + 3a_{32} = 3 \Rightarrow 2 - 4a_{32} + 3a_{32} = 3 \Rightarrow -a_{32} = 1 \Rightarrow a_{32} = -1.$$ - Thay $a_{32} = -1$ vào (1): $$a_{12} + 2(-1) = 1 \Rightarrow a_{12} - 2 = 1 \Rightarrow a_{12} = 3.$$ - Thay $a_{12} = 3$, $a_{32} = -1$ vào (2): $$3 + a_{22} -1 = 1 \Rightarrow a_{22} = -1.$$ - Vậy $f(e_2) = 3e_1 - 1e_2 - 1e_3$. - Giải cho $f(e_3) = (3,6,2)$: $$a_{13} + 0 + 2a_{33} = 3,$$ $$a_{13} + a_{23} + a_{33} = 6,$$ $$a_{13} - a_{23} + 2a_{33} = 2.$$ - Từ (1): $a_{13} + 2a_{33} = 3$. - Cộng (2) và (3): $$2a_{13} + 3a_{33} = 8.$$ - Thay $a_{13} = 3 - 2a_{33}$ vào: $$2(3 - 2a_{33}) + 3a_{33} = 8 \Rightarrow 6 - 4a_{33} + 3a_{33} = 8 \Rightarrow -a_{33} = 2 \Rightarrow a_{33} = -2.$$ - Thay $a_{33} = -2$ vào (1): $$a_{13} + 2(-2) = 3 \Rightarrow a_{13} - 4 = 3 \Rightarrow a_{13} = 7.$$ - Thay $a_{13} = 7$, $a_{33} = -2$ vào (2): $$7 + a_{23} - 2 = 6 \Rightarrow a_{23} = 1.$$ - Vậy $f(e_3) = 7e_1 + 1e_2 - 2e_3$. 4. **Ma trận của $f$ theo cơ sở $\{e_1, e_2, e_3\}$ là:** $$[f] = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}.$$