1. **Πρόβλημα:** Λύστε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων με $A=3$ και $B=2$: $$\begin{cases} x_1 + 3x_3 = 3 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ -x_1 + 2x_2 - x_3 = 3 \end{cases}$$ 2. **Μέθοδος απαλοιφής Gauss-Jordan:** - Γράφουμε τον επαυξημένο πίνακα: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$$ - Μετατρέπουμε τον πίνακα σε μειωμένη μορφή σκάλα: 1. Χρησιμοποιούμε την πρώτη γραμμή για να μηδενίσουμε το στοιχείο στη θέση (2,1): $$R_2 \to R_2 - 2R_1: \quad (2 - 2\cdot1, -1 - 2\cdot0, 1 - 2\cdot3, 2 - 2\cdot3) = (0, -1, -5, -4)$$ 2. Χρησιμοποιούμε την πρώτη γραμμή για να μηδενίσουμε το στοιχείο στη θέση (3,1): $$R_3 \to R_3 + R_1: \quad (-1 + 1, 2 + 0, -1 + 3, 3 + 3) = (0, 2, 2, 6)$$ - Τώρα ο πίνακας: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & -5 & -4 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right]$$ - Χρησιμοποιούμε τη δεύτερη γραμμή για να μηδενίσουμε το στοιχείο στη θέση (3,2): $$R_3 \to R_3 + 2R_2: \quad (0, 2 + 2\cdot(-1), 2 + 2\cdot(-5), 6 + 2\cdot(-4)) = (0, 0, -8, -2)$$ - Τώρα ο πίνακας: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & -8 & -2 \end{array}\right]$$ - Λύνουμε για $x_3$: $$-8x_3 = -2 \implies x_3 = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$$ - Αντικαθιστούμε στη δεύτερη γραμμή για $x_2$: $$-x_2 - 5\cdot \frac{1}{4} = -4 \implies -x_2 - \frac{5}{4} = -4 \implies -x_2 = -4 + \frac{5}{4} = -\frac{11}{4} \implies x_2 = \frac{11}{4}$$ - Αντικαθιστούμε στην πρώτη γραμμή για $x_1$: $$x_1 + 3 \cdot \frac{1}{4} = 3 \implies x_1 + \frac{3}{4} = 3 \implies x_1 = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$$ 3. **Μέθοδος Cramer:** - Ορίζουμε τον πίνακα συντελεστών: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$$ - Υπολογίζουμε το $\det(A)$: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 0 + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 1((-1)(-1) - 2\cdot1) + 3(2\cdot2 - (-1)(-1)) = 1(1 - 2) + 3(4 - 1) = -1 + 9 = 8$$ - Υπολογίζουμε $\det(A_1)$ αντικαθιστώντας την πρώτη στήλη με το διάνυσμα των σταθερών: $$A_1 = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{bmatrix}$$ $$\det(A_1) = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 0 + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 3(1 - 2) + 3(4 + 3) = 3(-1) + 3(7) = -3 + 21 = 18$$ - Υπολογίζουμε $\det(A_2)$ αντικαθιστώντας τη δεύτερη στήλη: $$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \end{bmatrix}$$ $$\det(A_2) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}$$ $$= 1(2\cdot(-1) - 3\cdot1) - 3(2\cdot(-1) - (-1)\cdot1) + 3(2\cdot3 - (-1)\cdot2)$$ $$= 1(-2 - 3) - 3(-2 + 1) + 3(6 + 2) = -5 + 3 + 24 = 22$$ - Υπολογίζουμε $\det(A_3)$ αντικαθιστώντας την τρίτη στήλη: $$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$ $$\det(A_3) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 0 + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 1((-1)(3) - 2\cdot2) + 3(4 - 1) = 1(-3 - 4) + 3(3) = -7 + 9 = 2$$ - Τελικά: $$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$$ $$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4}$$ $$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ 4. **Μέθοδος αντιστρόφου πίνακα:** - Υπολογίζουμε τον αντίστροφο πίνακα $A^{-1}$ του πίνακα $A$. - Το $A$ είναι: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$$ - Η λύση είναι: $$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$$ όπου $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$. - Υπολογίζοντας $A^{-1}$ (με τύπους ή αριθμητικά) και πολλαπλασιάζοντας με $\mathbf{b}$, παίρνουμε: $$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{9}{4} \\ \frac{11}{4} \\ \frac{1}{4} \end{bmatrix}$$ **Τελική απάντηση:** $$x_1 = \frac{9}{4}, \quad x_2 = \frac{11}{4}, \quad x_3 = \frac{1}{4}$$