1. **نص المشكلة:** لدينا مصفوفة $P = X - X'$ حيث $X'$ تمثل المصفوفة المترافقة (transpose) للمصفوفة $X$. نُريد معرفة خصائص مصفوفة $P$. 2. **تعريف مصفوفة ضد المدينة (anti-symmetric matrix):** المصفوفة $P$ ضد مدينة إذا كانت تحقق العلاقة $$P' = -P$$ أي أن المصفوفة المترافقة لـ $P$ تساوي سالب $P$. 3. **تحقق الخصائص:** نعلم أن $P = X - X'$ نحسب المصفوفة المترافقة لـ $P$: $$P' = (X - X')' = X' - (X')' = X' - X$$ لكن $$X' - X = -(X - X') = -P$$ لذلك: $$P' = -P$$ وهذا يعني أن $P$ مصفوفة ضد مدينة. 4. **بعض خصائص المصفوفات ضد المدينة:** - الأقطار الرئيسية لمصفوفة $P$ كلها صفر ($p_{ii} = 0$) لأن العنصر في القطر الرئيسي يجب أن يكون سالب نفسه، فيكون فقط صفر. - القيم الخاصة لـ $P$ إما صفر أو أعداد مركبة تخيلية بحتة. - إذا كانت $P$ مصفوفة حقيقية، فإنها تكون قابلة للاقطار بواسطة مصفوفة ارثوغونالية حيث تكون القيم على القطر على شكل كتل $2 \times 2$ من الشكل $$\begin{pmatrix}0 & a \\ -a & 0\end{pmatrix}$$ 5. **الاستنتاج:** المصفوفة $P = X - X'$ هي مصفوفة ضد مدينة (anti-symmetric). **الجواب النهائي:** $$P' = -P$$ و - الأقطار الرئيسية للمصفوفة $P$ صفر. - المصفوفة $P$ مضادة للتناظر.