1. **問題陳述**： (九) 解微分方程 $s'(t) = 0.07s(t) + 40000$，且初始條件 $s(0) = 1000000$。 (十) 使用一階與二階泰勒展開式來近似計算 $\sqrt[3]{27.03}$。 2. **(九) 微分方程解法**： 這是非齊次線性微分方程，形式為 $s'(t) - 0.07s(t) = 40000$。 3. **求齊次方程解**： 齊次方程為 $s'(t) - 0.07s(t) = 0$。 解為 $s_h(t) = Ce^{0.07t}$。 4. **求特解**： 假設特解為常數 $s_p$，代入方程得： $0 - 0.07s_p = 40000 \Rightarrow s_p = -\frac{40000}{0.07} = -571428.57$。 5. **通解**： $s(t) = s_h(t) + s_p = Ce^{0.07t} - 571428.57$。 6. **利用初始條件求 $C$**： $s(0) = C - 571428.57 = 1000000 \Rightarrow C = 1571428.57$。 7. **最終解**： $$s(t) = 1571428.57 e^{0.07t} - 571428.57$$ 8. **(十) 泰勒展開近似 $\sqrt[3]{27.03}$**： 令函數 $f(x) = x^{1/3}$，在 $a=27$ 展開。 9. **計算函數值與導數**： $f(27) = 3$ $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$，故 $f'(27) = \frac{1}{3 \times 9} = \frac{1}{27}$。 10. **二階導數**： $f''(x) = -\frac{2}{9} x^{-5/3}$，故 $f''(27) = -\frac{2}{9 \times 243} = -\frac{2}{2187}$。 11. **一階泰勒展開**： $$f(27.03) \approx f(27) + f'(27)(27.03 - 27) = 3 + \frac{1}{27} \times 0.03 = 3 + 0.00111 = 3.00111$$ 12. **二階泰勒展開**： $$f(27.03) \approx 3 + \frac{1}{27} \times 0.03 + \frac{-2/2187}{2} \times (0.03)^2 = 3 + 0.00111 - 0.000041 = 3.00107$$ 13. **結論**： 一階近似為 $3.00111$，二階近似為 $3.00107$，更精確。