1. **بيان المسألة:** لدينا قضيب منتظم طوله $\ell = 60$ نيوتن (وزنه $ر=60$ نيوتن) يستند بطرفه $ب$ على حائط رأسي خشن وبطرفه $ع$ على أرض أفقية خشنة. 2. **المعطيات:** - وزن القضيب $ر = 60$ نيوتن - طول القضيب $م = 30$ (غير واضح هل الطول أم زاوية، سنعتبر الطول) - زاوية ميل القضيب على الأرض $\theta = 45^\circ$ (مطلوب حسابها) - زاوية أخرى $س = 90^\circ$ - معامل الاحتكاك السكوني بين القضيب والأرض $\mu_1 = \frac{2}{5} = 0.4$ - معامل الاحتكاك السكوني بين القضيب والحائط $\mu_2 = \frac{1}{2} = 0.5$ 3. **صيغة المشكلة:** القضيب على وشك الانزلاق، أي أن قوة الاحتكاك عند كلا الطرفين في أقصى حد لها. 4. **القوى المؤثرة:** - وزن القضيب $ر$ يؤثر في مركزه. - رد فعل الأرض $N_1$ وقوة الاحتكاك الأرضية $f_1 = \mu_1 N_1$ - رد فعل الحائط $N_2$ وقوة الاحتكاك الحائطية $f_2 = \mu_2 N_2$ 5. **الشروط:** - توازن القوى في الاتجاهين الأفقي والعمودي. - توازن العزوم حول نقطة معينة (مثلاً نقطة التماس مع الأرض). 6. **تحديد القوى:** - عند نقطة التماس مع الأرض، رد الفعل العمودي $N_1$ وقوة الاحتكاك الأفقية $f_1$. - عند نقطة التماس مع الحائط، رد الفعل الأفقي $N_2$ وقوة الاحتكاك العمودية $f_2$. 7. **معادلات التوازن:** - في الاتجاه الأفقي: $$ N_2 = f_1 = \mu_1 N_1 $$ - في الاتجاه العمودي: $$ N_1 = ر + f_2 = ر + \mu_2 N_2 $$ 8. **عزم الدوران حول نقطة الأرض:** - عزم وزن القضيب: $$ \tau_{ر} = ر \times \frac{\ell}{2} \cos \theta $$ - عزم رد فعل الحائط: $$ \tau_{N_2} = N_2 \times \ell \sin \theta $$ - عزم قوة الاحتكاك عند الحائط: $$ \tau_{f_2} = f_2 \times \ell \cos \theta = \mu_2 N_2 \ell \cos \theta $$ 9. **معادلة العزم للتوازن:** $$ ر \frac{\ell}{2} \cos \theta = N_2 \ell \sin \theta + \mu_2 N_2 \ell \cos \theta $$ 10. **تبسيط المعادلة:** قسّم الطرفين على $\ell$: $$ r \frac{1}{2} \cos \theta = N_2 (\sin \theta + \mu_2 \cos \theta) $$ 11. **حل لـ $N_2$:** $$ N_2 = \frac{r \frac{1}{2} \cos \theta}{\sin \theta + \mu_2 \cos \theta} $$ 12. **باستخدام معادلة القوى الأفقية:** $$ N_2 = \mu_1 N_1 \Rightarrow N_1 = \frac{N_2}{\mu_1} $$ 13. **باستخدام معادلة القوى العمودية:** $$ N_1 = r + \mu_2 N_2 $$ 14. **استبدال $N_1$ من (12) في (13):** $$ \frac{N_2}{\mu_1} = r + \mu_2 N_2 $$ 15. **حل لـ $N_2$:** $$ N_2 (\frac{1}{\mu_1} - \mu_2) = r $$ $$ N_2 = \frac{r}{\frac{1}{\mu_1} - \mu_2} $$ 16. **تعويض القيم:** $$ \mu_1 = 0.4, \mu_2 = 0.5, r = 60 $$ $$ N_2 = \frac{60}{\frac{1}{0.4} - 0.5} = \frac{60}{2.5 - 0.5} = \frac{60}{2} = 30 $$ 17. **تعويض $N_2$ في معادلة العزم (11):** $$ 30 = \frac{60 \times \frac{1}{2} \cos \theta}{\sin \theta + 0.5 \cos \theta} = \frac{30 \cos \theta}{\sin \theta + 0.5 \cos \theta} $$ 18. **حل المعادلة:** $$ 30 (\sin \theta + 0.5 \cos \theta) = 30 \cos \theta $$ $$ \sin \theta + 0.5 \cos \theta = \cos \theta $$ $$ \sin \theta = \cos \theta - 0.5 \cos \theta = 0.5 \cos \theta $$ 19. **قسمة الطرفين على $\cos \theta$ (حيث $\theta \neq 90^\circ$):** $$ \tan \theta = 0.5 $$ 20. **حساب الزاوية:** $$ \theta = \arctan(0.5) \approx 26.57^\circ $$ **النتيجة النهائية:** زاوية ميل القضيب على الأرض تساوي تقريباً **$26.57^\circ$**.