1. مسئله را بیان می‌کنیم: متحرکی بر محور x حرکت می‌کند. در 5 ثانیه اول با سرعت ثابت حرکت می‌کند و سپس با شتاب ثابت ادامه می‌دهد. نقاط نشان‌دهنده موقعیت متحرک در فواصل زمانی یک ثانیه‌ای هستند. هدف یافتن زمانی است که متحرک دوباره به مبدأ (x=0) بازمی‌گردد. 2. در 5 ثانیه اول، حرکت با سرعت ثابت است. بنابراین موقعیت در زمان t برای $0 \leq t \leq 5$ به صورت خطی است: $$x(t) = v_0 t$$ که $v_0$ سرعت ثابت است. 3. از داده‌ها، در $t=0$ موقعیت $x=0$ و در $t=1$ موقعیت $x=-11$ متر است. پس سرعت ثابت: $$v_0 = \frac{-11 - 0}{1 - 0} = -11 \text{ m/s}$$ 4. پس معادله حرکت در 5 ثانیه اول: $$x(t) = -11 t$$ 5. در $t=5$ موقعیت: $$x(5) = -11 \times 5 = -55 \text{ متر}$$ 6. پس از 5 ثانیه، حرکت با شتاب ثابت ادامه دارد. معادله حرکت برای $t > 5$ به صورت: $$x(t) = x(5) + v_0 (t-5) + \frac{1}{2} a (t-5)^2$$ 7. موقعیت در $t=6$ برابر $x=13$ متر است. با جایگذاری در معادله: $$13 = -55 + (-11)(6-5) + \frac{1}{2} a (6-5)^2$$ $$13 = -55 -11 + \frac{1}{2} a$$ $$13 = -66 + \frac{1}{2} a$$ 8. حل برای شتاب $a$: $$\frac{1}{2} a = 13 + 66 = 79$$ $$a = 158 \text{ m/s}^2$$ 9. معادله حرکت پس از 5 ثانیه: $$x(t) = -55 -11 (t-5) + 79 (t-5)^2$$ 10. برای یافتن زمان بازگشت به مبدأ، $x(t) = 0$ را حل می‌کنیم: $$0 = -55 -11 (t-5) + 79 (t-5)^2$$ 11. معادله درجه دوم را به شکل استاندارد می‌نویسیم: $$79 (t-5)^2 - 11 (t-5) - 55 = 0$$ 12. متغیر جدید $\tau = t-5$ تعریف می‌کنیم: $$79 \tau^2 - 11 \tau - 55 = 0$$ 13. حل معادله درجه دوم با فرمول کلی: $$\tau = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \times 79 \times (-55)}}{2 \times 79}$$ $$= \frac{11 \pm \sqrt{121 + 17380}}{158} = \frac{11 \pm \sqrt{17501}}{158}$$ 14. مقدار تقریبی ریشه‌ها: $$\sqrt{17501} \approx 132.29$$ 15. دو جواب: $$\tau_1 = \frac{11 + 132.29}{158} \approx 0.91$$ $$\tau_2 = \frac{11 - 132.29}{158} \approx -0.77$$ 16. چون $\tau = t-5$ و زمان نمی‌تواند منفی باشد، جواب معتبر: $$t = 5 + 0.91 = 5.91 \text{ ثانیه}$$ 17. گزینه‌های داده شده به صورت کسر بر 5 هستند. $5.91 \approx \frac{30}{5} = 6$ نزدیک‌ترین گزینه است. پاسخ نهایی: متحرک در لحظه $t=\frac{30}{5}$ ثانیه دوباره به مبدأ بازمی‌گردد.